Repository: UIHistories Project: Mathematical Models (1907 - German) [PAGE 73]

EXTRACTED TEXT FROM PAGE:

Nr. 7. Uber Flachen 2. Ordnung.

71

Durchmesser der Ellipse durch die zweifache Parallelprojektion in die Konstruktion senkrechter Strahlenpaare in der Ebene dieses Quadrates. D a n n folgt aber aus der ersten (oder der zweiten) der obigen Ellipsenkonstruktionen (Seite 67), die sich ebenfalls auf das Bild und das abermalige Bild der Ellipse iibertragt, daft dieses letzte ein Kreis ist, und damit auch umgekehrt das Ellipsenbild das Bild dieses Kreises, also nach der Definition selbst eine Ellipse. Dieser Beweis1) beniitzt zwar die Kongruenz ebener Figuren, aber keine Verhaltnisse von Maftzahlen; er kann sofort auf den Fall iibertragen werden, bei d e m ein Kreis zentral in eine Ellipse projiziert wird, ohne daft die Kenntnis der Doppelverhaltnisse oder der Grundsatz der projektiven •Geometric vorauszusetzen ware. 3. Bei der Hyperbel wird in der gegebenen Definition ein Punkt bevorzugt, aus d e m namlich die anderen durch schiefe Spiegelung hervorgehen. Hier ist zu beweisen, daft w e n n m a n an die Stelle des ersten irgend einen der neuen setzt, m a n durch Spiegelung dieses neuen (an Durchmessern in der jeweils konjugierten Richtung) keine anderen Punkte erhalt, wie vorher. Hierzu bedarf m a n z. B. des Satzes von der Flachengleichheit der durch beliebige Hyperbelpunkte und die Asymptoten bestimmten Parallelogramme, sowie dessen Umkehrung; beide, Satz wie Umkehrung, ergeben sich sofort aus der schiefen Spiegelung. Statt der Flachengleichheit kann m a n wiederum die Kongruenz der ebenen Figuren als Beweismittel n e h m e n , indem m a n fiir die rechtwinklige Hyperbel den Satz beweist, daft die Seitenmitten eines dieser Kurve eingeschriebenen Dreiecks mit d e m Kurvenmittelpunkt auf einem Kreise liegen.2) Daraus folgt leicht jene Eigenschaft, die sich dann durch Affinitat auf die schiefwinklige Hyperbel iibertragt. Fiir die E l l i p s e folgt die Ersetzbarkeit des zu spiegelnden Punktes durch einen beliebigen Kurvenpunkt mittels Affinitat aus d e m Kreis. Daraus ergibt sich fiir Ellipse und Hyperbel die „Spiegeleigenschaft" (S. 66 oben). Setzt m a n dann zur Erzeugung dieser Kurven die K o n struktion I der Involution (S. 64) voraus, so folgt daraus (vgl. S. 68) die Konstruktion II. 4. Es ist der Beweis zu erbringen, daft auch umgekehrt eine durch die zweite Konstruktion konjugierter Durchmesser und Richtungen (S. 68) definierte Beziehung stets mit der ubereinstimmt, die aus der ersten K o n struktion (S. 64) hervorgeht und somit entweder eine elliptische oder eine hyperbolische Involution ist, und daft m a n bei der zweiten Konstruktion statt tier gegebenen Paare konjugierter Durchmesser, sie mogen a, a' und b, b' x) In meinen Vortragen uber darstellende Geometrie gebe ich diesen Beweis seit dem W . S. 1895/96. 2) Auch auf dieses Beweisverfahren (mittels der Kongruenz allein) hat mich Herr L. B a l s e r aufmerksam gemacht.