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H. W I E N E R .

und demgemafi werden ofter Konstruktion en mit Zirkel und Lineal da angebracht sein, w o in der projektiven Geometrie lineare Konstruktionen gefordert werden mlifiten. Indem ich mir vorbehalte, diesen Stoff an anderer Stelle ausfiihrlicher zu behandeln, schalte ich hier nur eine kurze Ubersicht liber die wichtigsten Satze der Kegelschnittslehre, sowie der dabei zur Verwendung k o m m e n d e n Beweismittel ein. i. Die Beziehungen harmonischer Paare bedlirfen zu ihrer Ableitung nur der affinert Abbildung en1), 2. Das zum Beweis der Konstruktion auf S. 62 angefuhrte Verfahren, u m aus einem gegebenen Quadrat beliebige weitere senkrechte Strahlenpaare zu finden, stimmt seiner grundsatzlichen Bedeutung nach mit d e m von S T E I N E R 2 ) angegebenen uberein. Die Uebertragung der S T E I N E R ' s c h e n Konstruktion auf die Ellipse scheint bisher noch nicht genligend ausgewertet worden zu sein, und doch liefert sie, oder das obige Verfahren, den natlirlichsten Beweis des Hauptsatzes, dafi bei ParallelprojeMion das Bild einer Ellipse wieder eine Ellipse wird, wenn als Ellipse das Parallelbild eines Kreises defmiert ist. Es geht namlich das der Ellipse konjugiert umschriebene Parallelogramm (das seinerseits das Bild eines d e m Urkreis umschriebenen Quadrates ist) bei Parallelprojektion in ein d e m Ellipsenbild konjugiert umschriebenes Parallelogramm liber, und fur dieses kann m a n eine Parallelprojektion finden (auf unendlich viele Arten), die es in ein Quadrat liberfuhrt; es libertragt sich dabei die Konstruktion konjugierter *) In meinen Vortragen tiber darstellende Geometrie definiere ich die harmonischen Strahlenpaare durch das Parallelogramm und beweise ihre Eigenschaften mittels perspektiv-affiner und perspeptiv-ahnlicher Abbildungen; die harmonischen Punktepaare einer Geraden aber, die erst bei der Einfuhrung der Perspektive unentbehrlich sind, pflegte ich mittels Perspektive, d. h. kollinearer Abbildung zu behandeln, bis ich (im Sommer 1902) durch Herrn L. B a l s e r in Darmstadt darauf aufmerksam gemacht wurde, dafi auch die Eigenschaften der harmonischen Punktepaare aus der Affinitat herzuleiten sind. Sie sind dann als Schnitte einer Geraden mit den vier harmonischen Strahlen eines Strahlenbuschels zu definieren, die als Spur einer affinen Abbildung aufgefafit wird, woraus die Eindeutigkeit dieser Definition folgt. Dafi auch der Beweis der allgemeineren Satzetiberharmonische Stiicke im vollstandigen Vierseit nicht des Grundsatzes der projektiven Geometrie bedarf, ist bekannt. Es ist aber auch leicht zu beweisen (indem man die Abbildung einer Geraden aus ihrem Spurpunkt und Fluchtpunkt definiert), dafi die perspektiv-kollinearen ebenen Systeme ohne raumliche Betrachtungen aus der perspektiv-ahnlichen Abbildung der Ebene hergeleitet werden kSnnen. 2) Jak. St einer, „Die geometrischen Konstruktionen, ausgefuhrt mittelst der geraden Linie und eines festen Kreises", § 9. (1833). Ges. Werke I, S. 477. Ist 0 der Mittelpunkt eines Quadrates und liegen die drei Punkte A, B und C so auf seinem Umfang, dafi A B einer Quadratseite, B C einer Diagonale parallel ist, so steht O C senkrecht auf O A .