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H. Wiener.

heiften, irgend zwei andre Paare zur Bestimmung der Involution wahlen kann. Beides erledigt sich, indem m a n die Paare in solche andere affm abbildet, fiir die sich der gesuchte Zusammenhang unmittelbar ergibt. Fiir Ellipse und Hyperbel wird hierzu bei beliebig gewahlter Affinitatsspur das Bild des Mittelpunktes in uberereinstimmender Weise gefunden: M a n ordne die vier Schnittpunkte der gegebenen Durchmesser so in Paare, dafi jedes Paar durch das andre getrennt wird, und n e h m e jedes Paar als Endpunkte eines Kreisdurchmessers. Finer der beiden Schnittpunkte der so bestimmten Kreise ist der Scheitel der gesuchten Strahleninvolution, die fur die Ellipse, w o a, a' und b, If einander trennen, eine Rechtwinkel-Involution wird; bei der Hyperbel, fiir die a, b und a\ by einander trennen mogen, werden die beiden Wmkelhalbierenden der affinen Bilder von a und a! zugleich Winkelhalbierende fiir die affinen Bilder von b und V sein; nimmt m a n diese also als Asymptoten einer (gleichseitigen) Hyperbel, so erhalt m a n die gewiinschten Beziehungen durch ruckwartige affine Abbildung der fiir diese Gleichwinkel-Involution bekannten Satze. 5. Bei der Parabel ist jeder Durchmesser mit einer Richtung, namlich seiner konjugierten, gepaart; und u m aus zwei solchen Paaren weitere in beliebiger Anzahl zu bestimmen, kann m a n von d e m (auch fiir die anderen Kurven 2. O., sowie fiir die Flachen 2. O. entsprechend geltenden) Satze Gebrauch machen, daft jeder Durchmesser mit seiner konjugierten Richtung an jedem anderen Durchmesser in dessen konjugierter Richtung gespiegelt, wieder einen Durchmesser mit seiner konjugierten Richtung liefert; dieser Satz lafit das System konjugierter Stiicke als ein „geschlossenes Spiegelsystem" erkennen (man vergleiche die Abhandlung Nr. 4, S. 16). Dies ergibt unter A n w e n d u n g des Spiegelverfahrens sofort die bekannteste Konstruktion zur Bestimmung beliebig vieler Parabelpunkte, die auf gleichweit unter einander abstehenden Durchmessern liegen. Der Uebergang zu Durchmessern, die beliebig dazwischen liegen, fiihrt auf die Eigenschaft, dafi w e n n m a n eine beliebige Anzahl von Durchmessern mit einer festen Geraden schneidet und in ihren konjugierten Richtungen Geraden durch einen festen Punkt zieht und mit irgend einem Durchmesser schneidet, m a n auf diesem und auf der festen Geraden ahnliche (affine) Punktreihen erhalt.1) J) Hierbei kommt der Satz zur Verwendung, daB „ahnliche Punktreihen" (d. h. seiche, die auf parallelen Geraden zentral auf einander projiziert werden) gleichzeitig „affine Punktreihen" sind (d. h. solche, die durch mehrfache Parallelprojektion auf einander bezogen sind). Ueber die Bedeutung dieses Satzes fiir die Grundlagen der Geometrie vergleiche man meine Abhandlung: „Weiteres fiber Grundlagen und Aufbau der Geometrie", Jahresbericht der deutsch. Math.-Ver. Bd. III., Nr. 2, S. 17, 18. Statt dieses Satzes kann man unter Beniitzung des Brennpunktes wiederum die Kongruenz der ebenen Figuren zu grunde legen.