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H. WIENER.

Beweise einen dual entsprechenden an die Seite gesetzt, den er darauf griindet, dafi die Ecken eines jeden regelmafiigen Vielflachs audi die eines gewohnlichen sind (Methode des Verbindens der Ecken zu neuen Kanten und Seiten)1). Es war ursprunglich meine Absicht, auf Grundlage dieser Arbeiten und im Anschlufi an Chr. Wieners Darstellung, die hoheren Vielflache abzuleiten. Aber die Aufgabe steht im engsten Zusammenhange mit der Gruppentheorie2), und vom Standpunkte dieser aus betrachtet, erweist es sich als nicht angangig, die PLATONischen Vielflache als gegeben anzunehmen. Denn unter diesen l f t sich z. B. das Dodekaeder von dem Kepler schen ai Vielflach, das gleichfalls regelmafiige Funfecke (namlich Sternfiinfecke) zu Seiten hat und an jeder Ecke drei solcher Seiten zu einem regelmafiigen Dreikant vereinigt, nur lagengeometrisch3), nicht aber gmppentheoretisch unterscheiden. U n d ebenso steht d e m gewohnlichen Ikosaeder ein P o i n s o t sches gegeniiber, wahrend die beiden letzten Vielflache dieser G r u p p e iiberhaupt kein entsprechendes PLATONisches haben, da hier ein K E P L E R s c h e s u n d ein P o i N S O T S c h e s einander gegenuberstehen, die beide regelmafiige Funfecke zu Seiten u n d Fiinfkante zu Ecken haben1). N o c h aus einem zweiten G r u n d e ist die gewohnliche Definition der regelmafiigen Vielflache zu verwerfen, weil sie namlich fiir zerfallende Vielflache vollig versagt, wahrend es gerade als das Zeichen einer brauchbaren Definition gilt, dafi sie die Sonderfalle umfafit. U m ein regelmafiiges Vielflach aus der G r u p p e v o n Drehungen zu definieren, ist nicht nur zu fordern, dafi seine Eckpunkte ein in der G r u p p e regelmafiiges System bilden (vgl. S. 13), sondern dafi dies auch fiir seine Kanten u n d Seiten zutrifft. Die durch diese Forderung getrennten dreierlei Stiicke mfissen dann zu einem Vielflach zusammengefiigt werden, u n d hierfiir ist notig, zu unter*) Ueber die Entwickelung der Lehre von den regelmafiigen Vielflachen vergleiche man Chr. W i e n e r a. a. O. S. 23 und Z. f M. u. Ph. 12 Jahrg. (1867) S. 174. . 2) Man vergl. Nr. 3 dieser Abhandlungen, S. 14. 3) Chr. W i e n e r gibt a. a. O. S. 20 lagengeometrische Voraussetzungen an, die zur Charakterisierung der gewohnlichen Vielflache notig sind. 4) Diese Paarung der Gebilde wird gmppentheoretisch als contragredienter holoedrischer Isomorphismus bezeichnet. Dieser ist f i die Ikosaedergruppe unterir sucht von F. Klein, „Vorlesungen iiber das Ikosaeder" S. 232 ff. Die Transformationen, die die eine Gruppe in die kontragrediente iiberfiihren, behandelt O. Fischer in seiner Inaug.-Diss. Leipzig 1885.