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Nr. 5. Die regelmafiigen Vielflache, abgeleitet aus ihrer Gruppe.

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suchen, wie sich tiberhaupt ein Vielflach aus Ecken, Kanten und Seiten bilden lafit (I. Abschnitt), und wie dies insbesondere bei den regelmafiigen Vielflachen durch die Gruppen bewirkt wird (II. Abschnitt). Dabei stellt es sich heraus (im III. Abschnitt), da8 es ohne eine einschrankende Bedingung nicht immer moglich ist, eine Seite A B C . . durch eine Drehung der Gruppe in sich zu drehen, und dabei A B d e m Sinne nach in B C gelangen zu lassen, und dafi sich dann die Seite auch nicht als ebenes Vieleck durch die Gruppe erzeugen lafit. Damit entsteht die Frage, ob tiberhaupt die Ebenheit der Seiten eine unerlafiliche Bedingung fur die Vielflache sei. Diese Frage ist zu verneinen, da m a n imstande ist, regelmafiige Vielflache auch mit „windschiefen Seiten" zu konstruieren, eine Tatsache, die es wohl ermoglichen wird, die Betrachtungen der vorliegenden Arbeit auf andre, nicht geometrisch definierte Gruppen auszudehnen. Hierbei mufi allerdings ein moglichst abstrakter Begriff des Vielflachs vorausgesetzt werden, und aus diesem Grunde ist (im I. Abschnitt) durch reines Verknupfen gegebener Stticke ein „begriffliches Vielflach" eingefuhrt. Die vorhin erwahnte Einschrankung besteht darin, dafi m a n Ueberfiihrbarkeit (Transitivitat) nicht nur fur alle Eckpunkte, sondern fiir alle an diesen liegenden Vielkante fordert, und je nachd e m m a n diese Bedingung hinzufugt oder weglafit, erhalt m a n (wenigstens in der Ikosaedergruppe) eine verschiedene Anzahl von Vielflachen, die als regelmafiig anzusehen sind (IV. Abschnitt). Gilt die Einschrankung, so besitzt jedes Vielflach Kantenumwendungen, und es gibt stets zwei „harmonische Drehungen"*), die eine Kante in eine Nachbarkantetiberfuhren,namlich eine, die die Ecke erzeugt, an der beide Kanten liegen, d. i. eine sogenannte eckenbildende Drehung, und eine andere, die die Seite erzeugt, in der beide Kanten liegen, eine seitenbildende Drehung. Verzichtet m a n auf jene Einschrankung, so gibt es aufier d e m eben erwahnten, noch einen zweiten Fall, der solche regelmafiige Vielflache umfafit, die keine Kantenumwendungen und nur eine der beiden erwahnten Drehungen besitzen. Dies bewirkt im letzten Falle, dafi in der Ikosaedergruppe drei zerfallende Vielflache als regelmafiig gelten (5 Wtirfel, 5 Oktaeder und 10 Tetraeder), die im ersten Falle ausgeschlossen x) Die harmonischen Verwandtschaften hat C. Stephanos fiir Projektivitaten aufgestellt. Math. Ann. 22 (1883) S. 320. Sie werden dort „konjugiert" und von C. Segre, J. f. Math. 100 (1887), der sie bei der Aufstellung der Buschel von Projektivitaten zu grunde legt, „harmonisch" genannt.