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Nr. 5. Die regelmafiigen Vielflaclie, abgeleitet aus ihrer Gruppe.

2.9

N r . 5 . D i e r e g e l m a f i i g e n Vielflache, abgeleitet a u s ihrer Groppe. Von H. Wiener i Darmstadt. n

Einleitung. Von regelmafiigen Vielflachen, d. h. solchen, deren Seiten aus regelmafiigen Vielecken und deren Ecken aus regelmafiigen Vielkanten gebildet sind, hat m a n lange Zeit hindurch nur die flinf gekannt, die P l a t o n zugeschrieben werden. Kepler1) hat ihnen zwei neue hinzugefiigt, indem er als regelmafiige Funfecke auch die Sternfiinfecke gelten lafit, die aus den gewohnlichen dadurch entstehen, dafi m a n jede Ecke nicht mit den benachbarten, sondern mit den nachst folgenden verbindet; und Poinsot2) hat ihre Zahl noch u m zwei vermehrt, indem er iiberdies an den Ecken Sternvielkante zulafit, die den Sternvielecken entsprechend definiert sind. Dafi die so entstandenen neun Vielflache bei dieser Erweiterung die einzig moglichen sind, hat Cauchy8) zuerst bewiesen; er leitet sie aus dem Satze her, dafi jedem der neuen Vielflache — die als solche hoherer Art4) bezeichnet werden — ein gewohnliches (Platonisches) zugrunde liegt, aus dem es durch Erweiterung der Kanten oder der Seiten oder beider entsteht (Methode des Erweiterns und Schneidens); und Bertrand5) hat diesem *) „Harmonia mundi", Gesamtwerke von Kepler, herausgegeben von Frisch, Bd. V. 2) Poinsot, Journ. de 1'ecole polyt. Heft 10 (1810), S. 16. «) C a u c h y , ebenda, Heft 16 (1813), S. 68. 4) Die gewohnlichen Funfecke heifien von der ersten Art, die Sternfiinfecke von der zweiten Art. Ueber die Bestimmung der „Art" eines beliebigen Vielecks vergleiche man Chr. W i e n e r s Schrift wUeber Vielecke und Vielflache", Leipzig, B. G. T e u b n e r , 1864, Nr. 7 (S. 3). Dort ist auch fur die „Art" der Vielflache eine Definition gegeben, die gegeniiber der fruher von Poinsot gebrauchten den Vorteil hat, daB dual sich entsprechende Vielflache dieselbe Art besitzen. 5) B e r t r a n d , Comptes rendues, Bd. 46 (1858), S. 79. 2*