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P. Treutlein.

lichen Alters. U n d doppelt kraftig mufi diese Forderung nach passender, gewohnheitsmafiiger und oftererVerwendungvonModellen als Anschauungshilfsmittel im mathematischen Unterricht aller Klassen aller Schulen erhoben und mufi die Erfiillung dieser Forderung verlangt werden, als gemafi den sog. Meraner Vorschlagen von 1906 ,,die Starkung des raumlichen Anschauungsvermogens" als eines der Hauptziele fur den neuzeitlichen mathematischen Unterrichtsbetrieb aufgestellt und als solches von der Mehrzahl der Lehrer und von alien neueren Lehrplanen gebilligt wird. Freilich, so wie ganz im allgemeinen fur uns Lehrer die Aufgabe besteht und als solche stets beachtet und gelost werden sollte, uns selbst schliefilich fur unsere Schliler unnotig zu machen, ganz so mufi es mit den genannten Modellen gehalten werden: durch ihren vernunftigen Gebrauch miissen die Modelle je im Verlauf jedes Lehrabschnittes u n d schliefilich a m E n d e des G e s a m t unterrichtes unnotig g e w o r d e n sein u n d miissen verschwinden. Denn welches sind die zwei Hauptzielpunkte eines guten mathematischen Unterrichtes? Doch wohl einerseits die Herausbildung einer geniigenden Fahigkeit zur Abstraktion im Gebiete der Zahlen wie der Raumformen, also im geometrischen Gebiet die Schaffung raumlichen Anschauungsvermogens, und anderseits die Weckung und Erzielung der Einsicht in die logischen Zusammenhange der mathematischen Gedanken. Damit aber jene notwendige Abstraktion einsetzen und sich ausbilden kann und damit die gewiinschte logische Bewaltigung der mannigfaltigen Beziehungen des Denkstofles sich einzustellen vermag, bedarf es der Beschaflung einer geniigend reichlichen Menge von Stoff an Erfahrungstatsachen, eines fertig vorliegenden, durch Selbstarbeit des Schlilers aus eigenster sinnlicher Wahrnehmung gewonnenen Beobachtungsstoffes sowie des Bewufitseins v o m Vor^ handensein solchen Stoffes. Dies alles kann aber nur durch Wahrnehmung und geordnete Beobachtung von Dingen der Aufienwelt beschafft werden. Diese letzteren bieten aber fast durchweg den doppelten Mifistand dar, dafi sie miteinander in Zusammenhang stehen und so nicht losgelost und fur sich allein gut betrachtet werden konnen, und ferner den andern in Rlicksicht auf geometrische Betrachtungen schwerwiegenden, dafi sie nicht vollkommene, allerseits gut ausgebildete Formen darbieten. Beiderlei Riicksichten verbieten es nahezu, machen es wenigstens nicht wiinschenswert, wie dies K. von Raumer wollte, die Betrachtung von Raumformen mit der von Kristallen zu beginnen.