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Nr. 7. Uber Flachen 2. Ordnung.

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Im Biindel tritt fur die perspektive Spiegelung an Pol und Polare eine raumliche schiefe Spiegelung ein, und durch sie wird jedes d e m Kegel konjugiert umschriebene Vierkant in ein solches affin iibergefuhrt, dessen Kanten einen regelmaftigen Vierstrahl ausmachen; und durch die umgekehrte Abbildung iibertragt sich die Konstruktion des Poiarsystems von diesem besonderen Vierkant auf das allgemeinere. Wird dann noch der Drehkegel in einen beliebigen affin abgebildet, so folgt fiir diesen, da£ jedes dem Kegel konjugiert umschriebene Vierkant der Konstruktion des Polarsystems (S. 78) zugrunde gelegt werden darf. Dabei ist unter einem konjugiert umschriebenen Vierkant ein einfaches Vierkant verstanden, dessen vier Seiten den Kegel beriihren, wahrend die durch je zwei gegeniiberliegende Beriihrungserzeugende gelegten Ebenen z u m Kegel konjugiert sind. Aus dieser Ableitung folgt fiir beiderlei Kegel auch die Konstruktion des Vierkantes, wenn sein zugehoriges Polardreikant gegeben ist, und damit der Satz, daft zu jedem Polardreikant ein einziges solches Vierkant gehort. In den hier gegebenen Ableitungen verwischen sich offenbar die Unterschiede zwischen der perspektiv-affinen und der perspektiv-kollinearen Abbildung. Der innere Grund dafiir wurde in der Fussnote 1) S. 70 angegeben. Das Wesentliche an d e m eingeschlagenen W e g besteht darin, daft wir fiir die Geometrie der Ebene sowohl auf den Grundsatz der projektiven Geometrie, wie auf den P A S C A L s c h e n Satz fiirs Geradenpaar — den zweiten Schlieftungssatz1) — verzichten und dafiir die Kongruenz ebener Figuren beniitzen, wahrend v o m D E S A R G U E S s c h e n Satz — d e m ersten Schlieftungssatz — nur die auf perspektive Affinitat und perspektive Ahnlichkeit beziiglichen Sonderfalle beniitzt zu werden brauchen, weil aus diesen der allgemeine Fall abgeleitet werden kann. Eine ausfiihrliche Darstellung dieser Theorie, die hier in ihren Grundziigen geschildert wurde, werde ich in der neuen Auflage von C H R . W i e n e r ' s Lehrbuch der darstellenden Geometrie bringen. A n m e r k u n g VI. Die harmonische Zuordnung der Polarsysteme zweier Kegel (S. 79) laftt sich wieder durch eine Verwandtschaftsgleichung darstellen. Bedeutet I das Polarsystem des Senkrechtstehens im Biindel und 8 die Kurve erzeugt. Liegt der Pol aber aufierhalb des Kreises, so gehen die aus ihm gezogenen Kreistangenten bei der Zentralprojektion in die Asymptoten der Bildhyperbel uber und bestimmen so ihre Involution konjugierter Durchmesser unmittelbar. Nur im Falle der Bildparabel (wo die Verschwindungsgerade den Kreis beriihrt) ist ein besonderer Beweis notig, der sich aber wiederum mit Hilfe des Satzes vom Hohenpunkt eines Dreiecks liefern lafit. x) M a n vergleiche meine Vortrage auf der Naturforscher-Versammlung zu Halle 1891 und auf der Mathematiker-Versammlung zu Miinchen 1893, Jahresberichte der D. Math.-Ver., Bd. I (1892), S. 45 ff. und Bd. Ill (1893), S. 70 ff.