Repository: UIHistories Project: Mathematical Models (1907 - German) [PAGE 84]

EXTRACTED TEXT FROM PAGE:

82

H. Wiener.

Wiirfels wird, von d e m jenes Quadrat eine Seite ist D a die Konstruktion des Polarsystems aus d e m Vierstrahl allein durch das mehrmalige Aufsuchen eines vierten harmonischen Strahles ausgefuhrt war, so erkennt m a n unmittelbar, dafi je nachdem das gegebene Polarsystem zu einem reellen oder zu einem imaginaren Kegel gehorte, das daraus affin abgeleitete Polarsystem entweder zu einem Drehkegel gehort oder das Senkrechtstehen von Strahlen und Ebenen im Biindel liefert. Durch riickwartige Abbildung iibertragen sich die Eigenschaften dieser besonderen Polarsysteme auf die gegebenen. Fur den imaginaren Kegel folgt dann ohne weiteres, dafi jedes seiner Polarvierhante, dessen JSfebendreiJcant ein Polar dreikant ist, der Konstruktion des Polarsystems (S. 78) zugrunde gelegt werden Jcann, denn seine Kanten sind das affme Bild eines regelmafiigen Vierstrahls. Beim reellen Kegel folgt dies nur fur 00i Vierkante, fur die tibrigen bedarf es eines besonderen Beweises. Hierzu denke m a n sich den Drehkegel mit einer zur Drehachse senkrechten E b e n e in einem Kreise geschnitten, dessen Mittelpunkt M heifie. Ein beliebiger Strahl p des Bundels und seine zugeordnete Ebene Q schneiden die Kreisebene in einem Punkte P und in einer Geraden q, deren Konstruktion sich aus der fur Q (S. 75) so ergibt: M a n schneide den Kreisdurchmesser M P mit d e m Kreis in zwei Punkten, suche von P zu ihnen den vierten harmonischen Punkt Q und errichte in ihm die Senkrechte q auf M P ; q wird daher die Polare des Punktes P z u m Kreise. Fiihrt m a n diese Konstruktion, wie es zweckmafiig ist, als Definition von Pol und Polare ein, so kann m a n die Polareigenschaften des Kreises mit Hilfe der Kongruenz ebener Figuren und des Harmonischliegens herleiten1), also genau mit den Mitteln, die wir hier zulassen. D a n n ergibt sich die Moglichkeit, den Kegelschnitt (auf zwei Arten) durch eine perspektive Spiegelung an Pol und Polare so in sich iiberzufiihren, dafi dabei ein beliebiger Punkt des Kreisinnern in den Mittelpunkt M und damit ein beliebiges d e m Kreise konjugiert umschriebenes Vierseit in ein umschriebenes Quadrat ubergefiihrt wird2). *) Dieser Beweis findet sich im „Lehrbuch der darstellenden Geometrie" von Rohn u. Papperitz, Erste Auflage, S. 170. Dabei ist aus der Kongruenzlehre der Satz vom Hohenpunkt eines Dreiecks beniitzt. 2) Auch der Satz, dafi durch Zentralprojektion eines Kreises eine Ellipse, fiyperbel oder Parabel entsteht, lafit sich mit den oben erwahnten Hilfsmitteln leicht erledigen. Liegt namlich der zum Kreise konstruierte Pol der Verschwindungsgeraden im Innern des Kreises (so dafi die Bildkurve eine Ellipse wird), so hat man durch die oben bentitzte perspektive Spiegelung den Kreismittelpunkt in diesen Pol uberzufiihren; durch die Zentralprojektion geht dann dieser Pol in den Mittelpunkt der Bildkurve iiber, und durch die Folge dieser beiden Abbildungen die Involution senkrechter Strahlen des Kreismittelpunkts in eine elliptische Involution des Ellipsenmittelpunkts, und aus ihr wird (etwa nach dem Spiegelverfahren, S. 67)