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H. WIENER.

eine hyperbolische Involution b einander harmonisch zugeordnet sind, in Anwendung auf Strahien- oder Punktinvolutionen im Sinne der Anmerkung L Aufterdem folgt die Gleichung

a n = i,

die der einfachste Ausdruck dafiir ist, daft jede der drei Involutionen zu den beiden anderen harmonisch ist. Die vier Operationen a, 8, b, 1 bilden eine „harmonische Gruppe" (da jede zu den drei iibrigen harmonisch ist). spiegeieigenDie Eigenschaft des Kreises, unendlich viele Symmetric- oder Kurvenund Spiegelachsen zu besitzen, ubertragt sich durch Parallelprojektion Fiachen 2. o.) auj ^ EUjpSe? nur (jag fce Spiegelung an einem Durchmesser, die beim Kreise in senkrechter Richtung erfolgte, bei der Ellipse in eine i. a. schiefe Spiegelung, namlich in der d e m Durchmesser konjugierten Richtung iibergeht. Diese Eigenschaft, die wir die „Spiegeleigenschaft" nennen konnen, k o m m t auch den Hyperbeln und Parabeln, sowie den Fiachen 2. O . zu, denn sie ist nur ein andrer Ausdruck des bekannten Satzes, dafi bei Kurven bezw. Fiachen 2. O . die Mitten aller parallelen Sehnen in einem Durchmesser bezw. einer Durchmesserebene liegen, und dafi umgekehrt jedem Durchmesser bezw. jeder Durchmesserebene eine solche Richtung zugeordnet ist. Bei Ellipse und Hyperbel sind in der involution konjugierter Durchmesser" die Durchmesser so gepaart, dafi jedem Durchmesser eines Paares die Richtung des andern (die konjugierte Richtung) als Spiegelrichtung zugeordnet ist, bei der Parabel aber, die einen Parallelbuschel von Durchmessern besitzt, besteht keine solche Involution, sondern es miissen die Durchmesser in unmittelbare Beziehung zu den zugeordneten Spiegelrichtungen gesetzt werden. Bei den Mittelpunktsflachen kann in der Richtung, die einer Durchmesserebene als Spiegelrichtung zugeordnet ist, ein Durchmesser gezogen werden, und fur die im Strahlenbiindel der Durchmesser und Durchmesserebenen so entGrundeigen- stehende Zuordnung gilt dann die Beziehung, dafi w e n n der p i a r y t e s Durchmesser eine Ebene durchlauft, die zugeordnete Ebene sich oChssdm. u m den Durchmesser dreht, der jener Ebene zugeordnet ist. Eine solche Beziehung, wie sie hier im Strahlenbiindel der Durchmesser auftritt, heifit bekanntlich ein „Polarsystem" und in jener Beziehung findet die „Gmndeigenschaft des Polarsystems" ihren Ausdruck. Fur die Paraboloide, bei denen Durchmesser und Durchmesserebenen einen Parallelbiindel bilden, gibt es zwar kein Polarsystem im Durchmesserbiindel, aber es bleibt eine den Mittelpunktsflachen eigentumliche Beziehung bestehen: jedem Durchmesser ist eine Stellung zugeordnet; denn dreht sich die Durchmesserebene u m