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Nr. 7. Uber Flachen 2. Ordnung.

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einen Durchmesser, so bleiben alle zugeordneten Spiegelrichtungen einer Ebene parallel (namlich der Beriihrebene des Punktes, in dem der Durchmesser das Paraboloid trifft), d. h. sie gehoren einer Stellung an und ebenso umgekehrt. W e n n wir auch bisher nur f i Ellipsen und Hyperbeln die tr Beziehung zwischen Durchmessern und zugeordneten Spiegelrichtungen, die hier durch die Involution konjugierter Durchmesser bestimmt ist, aufgestellt haben, so sind die nun folgenden Satze und Konstruktionen doch fur alle Kurven und Flachen 2. O. so gleichartig, dafi kein AnlaB vorliegt, alles fur Parabel und Flachen 2. O. spater zu wiederholen. Indem ich deshalb ausdriicklich auf die spater folgende Ableitung der noch fehlenden Beziehungen zwischen Durchmessern bezw. Durchmesserebenen und ihren zugeordneten Richtungen verweise, gebe ich jetzt die Satze in der fur alle jene Gebilde gemeinsamen Fassung. Erzeugung I der Kurven u n d Fldchen 2. O. [Spiegel- Erzeugung i verfahren]. Ist von einer Kurve (Fldche) 2. O. die Beziehung un naSen dd zwischen Durchmessern (Durchmesserebenen) und ihren konju2 °* ' gierten Richtungen gegeben, und aufierdem ein der Kurve (Fldche) angehorender Punkt oder eine Tangente (Beriihrebene), so erhdlt m a n beliebige weitere solche Stiicke, indem m a n das gegebene Stiick an irgend welchen Durchmessern (Durchmesserebenen) in der jedesmal konjugierten Richtung spiegelt. Statt den gegebenen Punkt an einem Durchmesser (einer Durchmesserebene) in der konjugierten Richtung zu spiegeln, kann m a n durch ihn eine Gerade in dieser Richtung ziehen und sie mit derjenigen Geraden (Ebene) schneiden, die parallel zum Durchmesser (zur Durchmesserebene) im doppelten Abstande v o m Punkte gelegt ist. So ergibt sich: Erzeugung II der Kurven u n d Fldchen 2. O. [Sdinitt- Erzeugung n. verfahren]. a) U m fur irgend eine Kurve (Fldche) 2. O. aus einem ihrer Punkte beliebige weitere zu finden, ziehe m a n durch den gegebenen Punkt in beliebiger Richtung eine Gerade und schneide sie mit derjenigen Geraden (Ebene), die zu dem jener Richtung konjugierten Durchmesser (zu der ihr konjugierten Durchmesserebene) parallel ist und von dem gegebenen Punkt nach derselben Seite hin den doppelten Abstand wie dieser Durchmesser (diese Durchmesserebene) hat. D a bei den Kurven (Flachen) mit Mittelpunkt sich alle Durchmesser (Durchmesserebenen) in einem Punkte treffen, so i t s dies auch mit den im doppelten Abstande gelegten der Fall; der 5 *