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Nr. 7. Uber Flachen 2. Ordnung.

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Denselhen Strahl erhalt m a n aiich, w e n n m a n den gegebenen zuerst spiegelt a n d z u d e m Spiegelbild den zugeordneten zur ersten Involution sucht. D i e beiden Involutionen heifien d a n n einander „ h a r m o n i s c k zugeordnet". A n m e r k u n g I. Aiigemeiner wird dieser N a m e audi solchen Involutionen beigelegt, die aus jenen durch affine Abbildung entstehen, bei denen also die reellen Doppelstrahlen der hyperbolischen Involution ein Paar der elliptischen Involution bilden. Der Zusatz II findet auf Involutionen in dieser Lage entsprechende Anwendung. Bei Punktinvolutionen in einer Geraden tritt an Stelle der Achsen der unendlich feme Punkt der Geraden und sein zugeordneter, der ^Mittelpunkt" der Involution. Bei der „hyperbolischen Punktinvolution", die zwei reelle Doppelpimkte besitzt, liegt der Mittelpunkt in der Mitte zwischen diesen. Bei der „elliptischen Punktin volution" gibt es ein Paar zugeordneter Punkte, deren Mitte in den Mittelpunkt fallt, sie heifien die „ideellen DoppelpunMe" der Involution. Der Begriff der „harmonisch zugeordneten Involutionen", wie er im Zusatz II gegeben wurde, sowie seine soeben gegebene Erweiterung flnden hier entsprechende Anwendung. A n m e r k u n g II. Die Verwandtschaftsgleichungen, die in der Abhandlung Nr. 5 die tlbersicht der Satze erleichterten, lassen sich auch hier mit Vorteil einfuhren. 1st a±, a2 ein Paar senkrechter Durchmesser des Kreises und sind •dt, d2 ihre Winkelhalbierenden, und bedeuten & und b die Strahleninvolutionen mit den Doppelstrahlen a±, a2, bezw. dt, d2J so wird die Rechtwinkelinvolution in demselben Strahlenbiischel (1) wobei 82 = l, a' = l, ba = l, sodaft die Involutionen als gleichartige Operationen mit den Spiegelungen •aufgefafit werden konnen, Sind nun dt und d2 die Asymptoten und somit at und a2 die Achsen einer gleichseitigen Hyperbel, so wird (2) b= a§ = &a die Involution konjugierter Durchmesser der rechtwinkligen Hyperbel. Im Zusatz I sind die Gleichungen (1) auf die Ellipse iibertragen, wobei at, a2 die Achsen, dtJd2 die ideellen Doppelstrahlen und 8 die Involution konjugierter Durchmesser bedeuten. Die Gleichungen (2) beziehen sich dann auf eine schiefwinklige Hyperbel, deren Involution konjugierter Durchmesser b ist. Aus den obigen Gleichungen folgt dann formal (3) (»b)' = i, und dies ist die Bedingung dafur, daft eiiiQ elliptische Involution § und 3 — ah = ba,

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