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H. WIENER.

II. Die B r z e u g u n g der K u r v e n u n d Fiachen 2. O. i m Gebiet der affinen Abbildungen.1) Gehen wir wieder von ebenen Gebilden aus, so haben wir, wie erwahnt, die Ellipse als das affine Bild des Kreises aufzufassen und zu ihrer Konstruktion die senkrechte Spiegelung an den Kreisdurchmessern durch eine Spiegelung an den Ellipsendurchmessern in der jedesmaligen konjugierten Richtung zu ersetzen. Urn den Zusammenhang beliebiger Paare konjugierter Durchmesser (und damit konjugierter Richtungen) zu erhalten, ohne sich auf Scttze der projekliven Geometrie zu stiitzen, suche m a n am Kreise eine Konstruktion, die zu jedem Durchmesser den senkrechten liefert und bei Parallelprojektion erhalten bleibt. Eine solche leitet sich aus der Eigenschaft ab, dafi die Drehung einer Ebene u m einen festen Punkt u m einen Rechten ersetzt werden kann durch die Folge zweier senkrechten Spiegelungen an zwei Achsen, die sich unter einem halben Rechten in dem Drehpunkt treffen. Dieser Satz kann auch so ausgedriickt werden: M a n erhalt zu einem Kreisdurchmesser den senkrechten, wenn m a n ihn der Folge zweier senkrechten Spiegelungen unterwirft, deren Achsen eine Mittellinie und eine Diagonale eines dem Kreise umschriebenen Quadrates sind. D a bei diesen senkrechten Spiegelungen die Spiegelrichtungen durch die andre Achse und die andre Diagonale gegeben sind, so folgt daraus durch Parallelprojektion: 1st von einer Ellipse ein konjugiert umschriebenes Parallelog r a m m gegeben, so erhalt m a n zu jedem Durchmesser den konjugierten, indem m a n ihn der Folge zweier Spiegelungen unterwirft, namlich der Spiegelung an einer Mittellinie in der Richtung der anderen Mittellinie und der Spiegelung an einer Diagonale in der Richtung der anderen Diagonale (oder der umgekehrten Folge). In dieser Konstruktion k o m m t es auf die Grofie des der Ellipse umschriebenen Parallelogramms nichtan, es wird vielmehr jedes mit dem gegebenen ahnlich liegende Parallelogramm mit demselben Mittelpunkt, also auch jede einem solchen Parallelogramm konjugiert eingeschriebene Ellipse dieselbe Beziehung konjugierter Durchmesser liefern. Diese Beziehung heifit fur jede dieser ahnlich liegenden Ellipsen die Jnvolution konjugierter Durchmesser" und fur sich als Beziehung im Strahlenbiischel genommen „elliptische Strahleninvolution"; sie hat zum Sonderfall die „Rechtl) Uber die geometrischen Voraussetzungen, die den folgenden Betrachtungen zu Grunde liegen, geben die spateren Anmerkungen naheren Aufschlufi.