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Nr. 7. Uber Flachen 2. Ordmmg.

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winkel-Involution", d. i. die Involution konjugierter Durchmesser fur den Kjeis. Urn die Konstruktion von d e m Parallelogramm loszul6sen, beachte m a n , dafi die Diagonalen und die Mittellinien eines Parallelog r a m m s harmonisch sind und dafi bei schiefer Spiegelung eine Gerade und ihr Spiegelbild ein harmonisches Paar zu der Spiegelachse und zu der durch ihren Schnittpunkt in der Spiegelrichtung gezogenen Geraden ist, und erhalt so den Satz: Sind v o n einer elliptischen Strahleninvolution zwei zu einander harmonische Paare zugeordneter Strahlen gegeben, so erhalt m a n zu einem beliebigen weiteren Strahle den zugeordneten, indent m a n v o n ihm den vierten harmonischen zu d e m einen Paare u n d von d e m so erhaltenen den vierten harmonischen z u m anderen Paare sucht. D a die elliptische Strahleninvolution als affines Bild der Rechtwinkel-Involution g e w o n n e n wurde, so erkennt m a n , dafi zu jedem Paar der Involution stets ein harmonisch liegendes Paar gefunden werden k a n n ; ebenso beweist m a n durch diese affine Abbildung in der bekannten Weise, dafi unter den Paaren der Involution stets eines von senkrechten Strahlen v o r k o m m t , diese beiden Strahlen heifien die „Achsen der Involution". W i e durch das Senkrechtstehen die Strahlen eines Biischels Hyperboiische Strahlenmvol. gepaart werden, so kann es auch dadurch geschehen, dafi m a n je zwei solche Geraden einander zuordnet, die zwei fest gewahlte senkrechte Geraden des Biischels zu gemeinschaftlichen Winkelhalbierenden haben, u n d von dieser Z u o r d n u n g mufi m a n ausgehen, u m auch weiterhin die A n w e n d u n g von Satzen der projektiven Geometrie zu vermeiden. W i r nennen diese Z u o r d n u n g eine „Gleichwinkel-lnvolutionu und die beiden fest gewahlten senkrechten Geraden, von denen jede sich selbst entspricht, ihre „Doppelstrahlen". Durch affine Abbildung geht diese Involution in eine solche uber, bei der jedes Paar zu zwei festen Geraden, den Doppelstrahlen, harmonisch liegt. Wir definieren durch diese Eigenschaft eine Jiyperbolische Strahleninvolution", und werden sie spater als Involution konjugierter Durchmesser fur die Hyperbel beniitzen, wobei die Doppelstrahlen die Asymptoten werden. E s gibt in der Involution ein Paar senkrechter Strahlen, namlich die beiden Winkelhalbierenden der Doppelstrahlen, sie heifien die „Achsen der Involution". Bei der elliptischen Involution gibt es nur ein Paar, dessen Strahlen durch die Achsen halbiert werden, diese heifien die „ideellen Doppelstrahlen" der elliptischen Involution. Sie stimmen,