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Nr. 7. Uber Flachen 2. Ordnung.

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1st ein Parallelepiped gegeben, so lassen sich im II. und III. Fall die reellen und ideellen Achsen der Flache auf je drei Arten verteilen, es sind also darch ein Parallelepiped ein reelles and ein imaginares Ellipsoid, drei zweischalige and drei einschalige Hyperboloide bestimmt. Zwei Flachen, die nach Lage und Lange der drei Achsen ubereinstimmen und sich nur durch deren Reell- oder Ideellsein unterscheiden, sollen harmonisch zageordnet heifien. In dieser Beziehung stehen die beiden in den Modellen dar- Modeiie gestellten Hyperboloide unter einander und ebenso das Ellipsoid r " ' ' ' zu diesen beiden, w e n n m a n ihre Achsen in richtiger Weise ineinandergesetzt und bei d e m Ellipsoid die 3 Achsen auf etwa ein Drittel verkiirzt denkt. Die Asymptotenkegel der beiden Hyperboloide fallen dann z u s a m m e n . Als Achsenverhaltnis ist 3:4:5 gewahlt. Analytisch druckt sich die Eigenschaft so aus, daft die Gleichung einer jeden der 8 Flachen enthalten ist in: + x! + t + * _ ! - a2 - b2 ± c2 ~~ *" Zwischen zwei Parabeln, die in derselben Ebene liegen, be- Paraboloide. steht, wie spater gezeigt werden wird, die entsprechende Beziehung, falls sie kongruent sind und einander in den Scheiteln beriihren, und zwei solche Parabeln heifien einander harmonisch zugeordnet. Konstruiert m a n nun fur ein beliebig gegebenes Paraboloid zu den Parabeln der beiden Hauptschnitte die har. monisch zugeordneten Parabeln, so erhalt m a n im ganzen 4 Parabeln, von denen je zwei in verschiedenen Ebenen liegende die Hauptschnitte eines Paraboloides bilden, und von den 4 daraus zu bildenden Paraboloiden heifit jedes zu jedem andern harmonisch zugeordnet; zwei von den vieren sind elliptische, zwei hyperbolische Paraboloide. *Ihre Gleichungen sind enthalten in: x2 y2 4- — 4- —- • ± a2 ± b2 Die beiden Paraboloide der Modelle Nr. 405 und 406 stehen, Modeiie in die richtige Lage gebracht, in dieser Beziehung zu einander. Nr-405'4oa 7 =