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H. Wiener.

und Paraboloide mit ebensolchen zu verknupfen sind, so leitet sie doch auch zu einer allgemeinen Betrachtung hinuber, die gleichmafiig alle Kurven und Flachen der 2. O. umfafit. I. Reelle u n d ideelle A c h s e n u n d Scheitel der Flachen 2. O. Imaginare Flachen. Kurven 2 o. . Zunachst sei als bekannt vorausgesetzt, dafi die Flachen

mit Mitteip. 2 0 durch jhre Hauptschnitte bestimmt sind, und es soil die Konstruktion beliebiger Punkte und Beriihrebenen aus moglichst einfachen Bestimmungsstiicken spater folgen. Es m o g e n zuerst ebene Gebilde betrachtet werden. Bei einem Kegelschnitt mit Mittelpunkt spielen in vielen Untersuchungen die beiden Achsen und die unendlich feme Gerade eine ganz gleiche Rolle und werden dann zweckmafiig unter der Bezeichnung der „Hauptgeraden", die das „Hauptdreieck" bilden, zusammengefafit. Es miissen dann auch mit den Scheiteln die unendlich fernen Punkte des Kegelschnittes und mit den Scheiteltangenten die Asymptoten als gleichartig aufgefafit werden, sodafi m a n jene als zwei (unendlich feme) Scheitel und die Asymptoten als Scheiteltangenten bezeichnen kann. Bei der Ellipse sind die beiden Scheitelpaare und das Rechteck ihrer Tangenten reell, dagegen die beiden unendlich fernen Punkte, sowie die Asymptoten imaginar. M a n kann aber diese imaginaren Paare leicht durch eine Involution darstellen, und zwar die Asymptoten durch die Involution konjugierter Durchmesser. Nach v. Staudt1) wahlt m a n zur Bestimmung einer Involution, die ein imaginares Paar darstellen soil, nicht zwei beliebige Paare, sondern solche, die zueinander harmonisch sind; und nimmt m a n insbesondere fiir das erste Paar die beiden Achsen, so bestimmen sich daraus als zweites Paar die beiden konjugierten Durchmesser, deren Winkel von den Achsen halbiert werden, das sind die Diagonalen des Rechtecks der Scheiteltangenten. Diese beiden Geraden sind fiir jede Ellipse eindeutig bestimmt und stellen ihrerseits eindeutig die Asymptoten dar, da m a n sich zu ihnen als zweites Paar der Involution noch ihre Winkelhalbierenden hinzudenken mufi. Sie heifien die ideellen Asymptoten, und ihre Schnittpunkte mit der unendlich fernen Geraden die ideellen unendlich fernen Punkte (ideellen unendlich fernen Scheitel) der Ellipse. x) Im folgenden Abschnitt wird eine Darstellung der hier in Betracht kommenden v. STAUDTschen Satze gegeben, die nur Kongruenz und Affinitat, aber nicht die allgemeine Projektivitat beniitzt.