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Nr. 7. Uber Flachen 2. Ordnung.

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Fig. 1.

Fig. 2.

Bei der Hyperbel entspricht nach dem Gesagten jenem Scheiteltangenten - Rechteck ein Viereck, das in den reellen Scheiteltangenten das eine Paar und in den Asymptoten das andere Paar von Gegenseiten hat, und bei dessen Durchlaufen man auf einer Scheiteltangente vom Schnittpunkt mit einer Asymptote fiber den Scheitel hinaus bis zum Schnittpunkt mit der anderen Asymptote zu laufen hat, dann auf dieser fiber den unendlich fernen Scheitel hinweg bis zur anderen Scheiteltangente u. s. f . Die „Diagonalen" dieses Vierecks, d. h. die Verbindungsgeraden der Gegenecken, sind parallel zu der „reellen Achse" (d. h. derjenigen, die das reelle Scheitelpaar enthalt). Diese beiden Geraden heifien die ideellen Scheiteltangenten und ihre Schnittpunkte mit der zweiten, der „ideellen Achse" heifien die ideellen Scheitel der Hyperbel (die Entfernung der beiden Scheitel heifit dann die „Lange der ideellen Achse"). In der Tat stellt das ideelle Scheiteltangentenpaar zusammen mit dem aus der parallelen Achse und der unendlich fernen Geraden bestehenden zweiten Geradenpaar die Involution der imaginaren Scheiteltangenten dar, und die Schnittpunkte dieser beiden Geradenpaare mit der zweiten Achse die Involution der imaginaren Scheitel. Die beiden Figuren fur Ellipse und Hyperbel stimmen vollig fiberein, nur wechselt in beiden die Bedeutung der reellen und ideellen Geraden und Punkte, und man kann diesen beiden Kegelschnitten noch einen dritten, die Jmaginare Ellipse" an die Seite stellen und sie dadurch bestimmen, dafi man beide Achsen, und in Folge dessen auch die Seiten und Diagonalen des Rechtecks als ideell ansieht; von ihr wird dann die erstgenannte Kurve in der Bezeichnung als „reelle Ellipse" unterschieden. Die geometrische Bedeutung der imaginaren Ellipse wird spater erortert werden. Wir fassen die Merkmale der dreierlei Figuren zusammen : Zwei auf einander senkrechte Strecken, die einander gegenseitig halbieren, konnen als Achsen von drei Arten von Kegel-