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Nr. 5. Die regelmaftigen Vielflache, abgeleitet aus ihrer Gruppe.

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A n m e r k u n g . In der Oktaedergruppe gibt es zweierlei Achsenspiegelungen, da drei von ihnen ein Achsenkreuz und die iibrigen ein geschlossenes Spiegelsystem von sechs Spiegelungen bilden. Jene drei sind untereinander gleichberechtigt — d. h. sie gehen durch die Drehungen der Gruppe ineinander liber — und ebenso diese sechs. Jedoch kann keine der drei in eine der sechs ubergefuhrt werden. Jedes der beiden Systeme kann aber als System der Kantenumwendungen von Vielflachen dienen, die aus der Oktaedergruppe entstehen. A u s der Kante A B wird hierauf, so wie es friiher (S. 34) Vielkante auseinandergesetzt wurde, an der Ecke B mittels der eckenbilden- vide"ke. den D r e h u n g (£ ein Vielkant gebildet, und endlich in einer an die Kante A B anstofienden Seite mittels der aus @ und £ zusammengesetzten seitenbildenden D r e h u n g (% ^ © 3 vergl. S. 35) ein Vieleck. Unterwirft m a n schliefilich Vielkant, Vieleck und Kante alien Drehungen der Gruppe, so erhalt m a n alle weitere solche Stiicke. Will m a n das Vielflach auf dual entsprechende Weise aus Dae ul einer seitenbildenden D r e h u n g Qf unter Hinzufiigen einer Kanten- Erzeusun u m w e n d u n g 3 erzeugen, so hat m a n wie vorhin dreierlei Voraussetzungen zu machen. E s darf namlich erstens die seitenbildende D r e h u n g $ nicht involutorisch sein, da sie sonst ein Zweieck und nicht ein Vieleck als Seite erzeugte; zweitens darf die Achse der K a n t e n u m w e n d u n g $, die die Seite in die Nachbarseite iiberfiihren soil, nicht in die Drehachse von Qf hineinfallen, da sonst die Nachbarseite mit der Seite zusammenfiele, und drittens durfen beide Achsen nicht senkrecht sein, da sonst die Nachbarseite zur Seite parallel wurde und das Vieflach entartete. Die beiden letzten Bedingungen konnen wiederum dahin zusammengefafit werden, dafi die Drehachse v o n g durch die Achsenspiegelang 3 nicht in sich ilbergefiihrt werden darf. A n m e r k u n g . Die Entartung eines Vielecks oder Vielflachs, die entsteht, wenn die Nachbarecken auf einem (durch 0 gehenden) Durchmesser liegen, hat zum dualen Bilde die Entartung eines Vielseits oder Vielflachs, bei dem Nachbarseiten parallel sind. So entsteht z. B. aus einem gewohnlichen regelmaftigen Sechseck aufier einem in zwei Dreiecke zerfallenden (dessen Ecken unter Ubergehen je einer Ecke zu Seiten verbunden werden) ein entartetes, das aus drei durch je zwei Ecken begrenzten Durchmessern besteht. U n d dual dazu erhalt m a n aus einem gewohnlichen ebenen regelmafiigen Sechsseit aufter einem in zwei Dreiseite zerfallenden (dessen Seiten unter Ubergehen je einer Seite zum Schnitt gebracht werden) ein entartetes, das, aus drei Paaren paralleler Geraden besteht, also drei unendlich feme Ecken besitzt.