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Caption: Mathematical Models (1907 - German)
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48 H. WIENER. Untergruppen; wie man aber hier durch die „erweiterte Gruppe" die Anzahl der Operationen verdoppelt, so kann man auch bei den abstrakten Gruppen die Zahl der „Grundstiicke" vermehren, in dem man die gegebene Gruppe als Untergruppe. einer erweiterten Gruppe aurTafit. Ich hielte es fur lohnend, die in der vorliegenden Arbeit fur die Tkosaedergruppe abgeleiteten S&tze dadurch auf die von F. K L E I N und W . D Y C K sehr eingehend studierte einfache Gruppe von 168 Operationen zu iibertragen, dafi fur diese die moglichen regelmafiigen Gebilde aufgestellt wiirden. V. Konstruktion eines regelmaBigen Vielflachs aus seiner Gruppe. Es soil jetzt gezeigt werden, wie man ein regelmdfiiges Vielflach konstruieren kann, w e n n seine Gruppe gegeben ist. Ecken. M a n wahle aus der Gruppe irgend eine nicht involutorische Drehung @ als eckenbildende Drehung aus, und da ein Eckpunkt, etwa /?, bei dieser Drehung festbleiben soil, so n e h m e m a n auf der Drehachse von @ den Punkt B beliebig an. Unterwirft m a n dann die Ecke B alien Drehungen der Gruppe, so geht sie jedesmal wieder in eine Ecke uber, und die Drehungen, die B festliefien, gehen durch die Drehungen, die B in eine neue Ecke B ' uberfuhren, in solche Drehungen liber, die B ' festlassen. Urn aus B eine Nachbarecke A zu finden, greife m a n jetzt unter den Achsenspiegelungen *) der Gruppe irgend eine £ heraus und spiegle B an ihr nach A ; dabei darf 3 nicht mit der Drehachse von @ zusammenfallen, da sonst die Kante A B die Lange Null erhielte, und sie darf auch nicht senkrecht zu ihr sein, da sonst die Kante durch den Drehpunkt O hindurchginge, und ein aus diesen Kanten gebildetes Vieleck zu einem Vielstrahl, und das Vielflach zu einem Vielkant entartete. U m beides zusammenzufassen, schliefien wir aus, dafi die Achsenspiegelung 3 die Achse der Drehung @ in sich iiberfiihre. D a n n wird A B stets als Kante des zu erzeugenden Vielflachs dienen konnen. Unterwirft m a n die Kante A B alien Drehungen der Gruppe, so wird sie wieder in Kanten des Vielflachs ubergefuhrt, und m a n erhalt so alle Kanten. Gleichzeitig wird auch die Achsenspiegelung s, die fur A B K a n t e n u m w e n d u n g war, in samtliche Kantenumwendungen des Vielflachs iibergehen. Kanten. *) Dafi jede (nicht zyklische) Gruppe einer endlichen Anzahl von Drehungen Umwendungen enthalt, wird spater gezeigt.
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