Repository: UIHistories Project: Mathematical Models (1907 - German) [PAGE 52]

EXTRACTED TEXT FROM PAGE:

50

H. WIENER.

N a n sind aber die aafgestellten Bedingangen filr die seitenbildende Drehang % = @ $ von selbst erfiillt, falls sie filr ® erfiillt sind, and amgekehrt. I t namlich eine der beiden Drehungen involutorisch, z. B. s 3f, so i t © = g S eine aus den beiden Spiegelungen g und 3 s zusammengesetzte Drehung, also i t ihre Drehachse senkrecht zur s Umwendachse von $. U n d aus der Annahme, da8 die Umwendachse zu der Achse einer der beiden Drehungen senkrecht sei, folgt entsprechend, dafi die andere Drehung involutorisch ist; wenn z. B. die Achse von © senkrecht zur Umwendachse von £ ist, so l f t sich die Drehung @ in die Folge zweier Spiegelungen t und ai 3 zerlegen, und es wird g = t$$ = t, also gleich einer Spiegelf ung, d. h. involutorisch. Fallt aber die Achse von 3 etwa mit der von $ zusammen, so bleibt auch bei g 3 = @ jeder Punkt dieser Achse an der Stelle, d. h. sie i t auch Achse von (£, oder in anderen Worten, s es f l t auch die Achse von 3 und @ zusammen. al Wir konnen die letzten Ergebnisse in den Satz zusammenfassen: Blug dr idn e Hauptsatz. Ist die Grappe eines regelmdfiigen Vielflacks gelusde/ geben, and m a n greift aas ihr erstens eine nicht involatorische oruppe. Drehung ^nd zweitens eine involatorische Drehang, die die Drehachse der ersten nicht in sich iiberfilhrt, willkiirlich heraas, and trifft die Bestimmang, dafi die nicht involatorische Drehang eine Ecke festlassen, die involatorische aber diese Ecke in eine Nachbarecke ilberfiihren soil, so ist hierdarch ein regelmafiiges Vielf lack — abgesehen von der Moglichkeit einer ahnlichen Veranderang — eindeatig bestimmt. Der Satz i t so gefafit, dafl er alle Versuche, die zu keinem s regelmafiigen Vielflache fiihren wiirden, von selbst ausschliefit. Aus diesem Satz ist ersichtlich, wie man Vielflache bilden kann, die dieselben Ecken und Kanten, aber verschiedene Seiten (oder dieselben Seiten und Kanten, aber verschiedene Ecken) haben. Wahlt m a n die eckenbildende Drehung <£ und auf ihrer Achse die Ecke B und ftigt noch die Kantenumwendung § hinzu, so sind Ecken und Kanten bestimmt, und es wird an ihnen nichts geandert, wenn man statt @ eine andere nicht involutorische Drehung setzt, die dieselbe Drehachse besitzt, also z. B. @2, falls nicht & die Periode 4 (@2 also die Periode 2) hat. Diese Bemerkung fuhrt dazu, die Vielflache, bei denen die Periode 5 vorkommt,