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H. Wiener.

Ikosaedergruppe zur „ erweiterten G r u p p e " tibergeht, die aufier den kongruenten auch symmetrische Abbildungen enthalt. D a n n gilt der Satz nicht m e h r , dafi falls zwei benachbarte Ecken durch eine Abbildung der G r u p p e vertauscht w e r d e n , eine Kantenumw e n d u n g vorhanden ist; denn sie konnen auch durch Spiegelung an ihrer Mittelebene vertauscht werden. Durch solche Ebenenspiegelungen wird es aber moglich, z. B. bei d e m in f(inf Wurfel zerfallenden Vielflach, an einer Ecke die beiden Vielkante (die zwei verschiedenen Wurfeln angehoren) ineinander uberzufiihren, und damit die zweite Definition (S. 32) zu befriedigen. E s gelten also in der erweiterten G r u p p e die Gesamtheit derftinfWurfel (und ebenso der beiden anderen zerfallenden Vielflache) als regelmafiig. Die erweiterte G r u p p e ist aber wieder zusammengesetzt. A n m e r k u n g I. Auch bei der erweiterten Gruppe ist es in dem Beispiel der funf Wurfel nicht moglich, eine Seite, d. h. ein begrenzendes Quadrat, so in sich uberzufiihren, dafi eine Kante in die Nachbarkante iibergeht. Wird eine Kante A B eines Quadrates A B C I) in die Nachbarkante B C ubergefuhrt, so geht das Quadrat in das Nachbarquadrat desselben Wiirfels iiber (vergl. S, $S); in die Gegenseite C D des Quadrates geht bei der erweiterten Gruppe die Kante A B auf zwei Weisen iiber, namlich im Sinne C D durch eine U m w e n d u n g (die aber f i die funf Wurfel tr kerne Kantenumwendung ist) und im Sinne D C durch eine Ebenenspiegelung. Die Bedingung 2) auf S. 40 ist damit ebenfalls erfullt, und zwar folgt dies aus der „zweiten Definition", da die Schlusse auf S. 39, soweit sie nicht die Kantenumwendungen betreffen, immer noch gelten; aber die Seite (das Quadrat) ist nicht durch die Drehungen der Gruppe in der Weise erzeugt, wie dies bei den Vielflachen geschieht, die einer nur aus Drehungen bestehenden Gruppe angehoren, wobei die Kante A B in die Nachbarkante im Sinne E C tibergeht 11. s. f Wir haben hier aber . den 1. Unterfall des zweiten Falles (S. 35), so dafi die im III. Abschnitt getroffenen Unterscheidungen bei der „erweiterten Gruppe" ihre A n wen dung finden. A n m e r k u n g II. Es ist leicht, ein Beispiel eines regelmafiigen Vielflachs, oder besser gesagt, ,,raumlichen Vielseits" mit windschiefen Seiten anzugeben. Als Ecken und Kanten wahle m a n die eines gewdhnlichen regelmafiigen Ikosaeders und ordne von den Kanten je solche z e h n in eine Seite, die tibrig bleiben, wenn m a n die Kanten weglalfit, die an zwei Gegenecken je eine fiinfseitige regelmafiige Pyramide bilden. Es stofien von den so gefundenen sechs „Seiten" je zwei an einer Kante zusammen, durch jede Ecke gehen ftinf dieser Zehnecke, in jeder Seite liegen zehn Ecken und zehn Kanten, und das Gebilde gehorcht alien Forderungen, die dem regelmafiigen Vielflach auferlegt waren. Dafi