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Nr. 5. Die regelmafiigen Vielflache, abgeleitet aus ihrer Gruppe.

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zwei Nachbarvielecke nicht nur in einer Kante, sondern zugleich audi in der Gegenkante zusammenhangen, hat dabei ebensowenig zu sagen, wie der Umstand, daft je zwei Seiten benachbart sind. Es sei hier aber vorgreifend erwahnt, daft alsbald eine auch auf windschiefe Seiten ausdehnbare Begriffsbestimmung der „entarteten Vielflache" gegeben wird, die das Vielflach unseres Beispiels als entartet erscheinen laftt; ich vermute, daft es in diesem Sinne aufier den entarteten iiberhaupt keine windschiefen regelmafiigen Vielflache mehr gibt, jedoch ist es mir z. Zt. nicht mogltch, diese Frage weiter zu verfolgen. Die Voraussetzungen 1) u n d 2) lassen sich nicht in kurzen W o r t e n zu einer Definition z u s a m m e n f a s s e n , u n d dies riihrt daher, dafi sie nicht ausreichen, u m den Begriff des „ Regelmafiigen in einer G r u p p e " auf die E c k e n u n d Seiten a n z u w e n d e n . Beschranken wir tins vorerst auf die Seiten, so h a b e n wir zu vieiecke, die untersuchen, unter welchen B e d i n g u n g e n ein Vieleck als regelregelmafiig* mafiig in der G r u p p e des regelmafiigen Vielflachs, oder wenigstens in einer Untergruppe dieser G r u p p e gelten kann. D a b e i setzen wir das Vieleck nicht v o n vornherein als eben voraus, sondern betrachten es als eine aus E c k p u n k t e n u n d K a n t e n gebildete.geschlossene Kette (vgl. S. 24). E i n solches Vieleck soil J n einer G r u p p e regelmafiig" heifien, w e n n seine Eckpunkte a n d K a n t e n regelmafiige S y s t e m e {vgl. S. 2 8 ) in dieser G r u p p e bilden. Hierbei treten zwei A u f g a b e n auf, namlich die Vieiecke zu bestimrnen, die in einer G r u p p e regelmafiig sein kOniien, u n d die G r u p p e n zu bestimrnen, in d e n e n ein Vieleck regelmafiig sein kann. E s wird gefordert, dafi jede D r e h u n g einer solchen G r u p p e jede E c k e (und ebenso jede Kante) wieder in eine E c k e (bezw. Kante) des Vielecks uberfiihrt (vgl. B e d i n g u n g a) der Definition S. 28), u n d daraus ergibt sich bei der A n w e n d u n g auf die Vielflache, dafi die G r u p p e , in der das Vieleck regelmafiig ist, nur eine Untergruppe der G r u p p e des regelmafiigen Vielflachs sein kann. Ferner soil durch D r e h u n g e n der G r u p p e , die das Vieleck in sich uberfiihrt, a) jeder E c k p u n k t in jeden andern E c k p u n k t des Vielecks iibergehen k o n n e n u n d ($) jede K a n t e in jede andre ( B e d i n g u n g b ) der Definition). Eine Kante A S geht also durch wenigstens eine D r e h u n g der G r u p p e , die das Vieleck A B C D . . in sich uberfiihrt, in seine Nachbarkante E C iiber. W i r betrachten 1) d e n Fall, dafi eine D r e h u n g dieser G r u p p e die Kante A B im Sinne C B in die Nachbarkante iiberfiihrt; dieselbe D r e h u n g ftihrt d a n n C B in eine a m festbleibenden Punkte B aniiegende Kante des Vielecks, also in A B iiber, u n d somit A B C in C B A .