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Nr. 5. Die regelmafiigen Vielflache, abgeleitet aus ihrer Gruppe.

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Gibt es in einem (aus einer Gruppe von Drehungen abge- E t r u g natn leiteten) regelmdfiigen Vieflach, das den Bedingungen 1) und 2) geniigt, eine Drehung, die eine Seite in sich selbst iiberfiihrt und eine Ecke dieser Seite festldfit, so ist diese Seite ein ebenes regelmdfiiges Vieleck, dessen Ebene durch den Drehpunkt O geht. Das Vielflach ist daher (nach S. 30) ein entartetes. D a wir entartete Vielflache schon friiher ausgeschlossen haben (Einschrankung II, S. 30), so bleibt nur noch die Moglichkeit ( ? /) ubrig, d. h.: Soil die Kante A B so in die Nachbarkante iibergefiihrt werden, daft die ebene oder windschiefe Seite A B C D . . in sich selbst und die Kante A Bin die an B anstoftende Nachbarkante gedreht wird, so geschieht dies im Sinne B C . Damit i t gezeigt, dafi es nach den Voraussetzungen 1) und 2) s zwei voneinander verschiedene Drehungen © und £f gibt, die eine $ Kante A B in eine Nachbarkante iiberfuhren, namlich das eine Mai im Sinne C B , das andere Mai im Sinne B C ; und da wir nur Gruppen von Drehungen zu Grunde legten, so folgt daraus wie friiher das Vorhandensein einer Kantenumwendung. Dies liefertden Satz II: Geniigt ein aus einer Gruppe von Drehungen ab- K n e atn geleitetes regelmdfiiges Vielflach mit ebenen oder windschiefen umwendung Seiten den Bedingungen 1) und 2), so gibt es fur jede Kante eine der Gruppe angehorige Umwendung, die die beiden Ecken der Kante miteinander vertauscht (d. h. eine Kantenumwendung). Es m a g die Tragweite unserer Definitionen noch dadurch er- z r a i n e etied lautert werden, dafi wir angeben, welche Vielflache sich hiernach V e f a h illce als regelmafiig herausstellen werden. Sehen wir dabei von den bisher nirgends untersuchten mit windschiefen Seiten ab, so deckt sich die zweite Definition (S. 32) mit der in den Bedingungen 1) und 2) (S. 40) enthaltenen. In der Tetraedergruppe t i t rt nur das Tetraeder auf, in der Oktaedergruppe gilt das Oktaeder und der Wtirfel, sowie ein in zwei Tetraeder zerfallendes Vielflach als regelmafiig, in der Ikosaedergruppe werden alle zerfallenden Vielflache (von denen es drei gibt) ausgeschlossen, so dafi nur die zwei PLATONischen (Ikosaeder und Dodekaeder), die zwei KEPLERschen und die zwei PoiNSOTschen tibrig bleiben. Damit gelten in der Oktaedergruppe, die zusammengesetzt ist (d. h. die invariante Untergruppen enthalt), zerfallende Vielflache als regelmafiig, wdhrend in der Ikosaedergruppe, die einfach ist, keine zerfallenden Vielflache vorkommen. Diese Beschrankung zerfallender Vielflache auf zusammengesetzte Gruppen findet sich auch, wenn man z. B. bei der