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H. WIENER.

EinVielflache. Es ginge iiber d e n R a h m e n dervorliegenden Abhandlung schrankungen. ° ° ° ° hinaus, alle regelmafiigen Vielflache mit windschiefen Seiten abzuleiten, und deshalb beschranken wir uns hier auf solche mit ebenen I. Ebene Seiten. 0 . , ,_. , . « . T\ Seiten (Einschrankung I.). D a nur Gruppen mit einer endlichen Anzahl von Drehungen, deren Achsen nicht zusammenfallen, vorausgesetzt sind, so mtissen sich die Drehachsen in einem Punkte O schneiden, der bei alien Drehungen der Gruppe fest bleibt, und den wir den Drehpunkt des Vielflachs nennen. Hieraus und aus der Bedingung b), S. 28, folgt dann: Alle Eckpunkte eines regelmafiigen Vielflachs liegen auf einer Kugel, alle Kanten beriihren eine zweite Kugel, die Ebenen aller Seiten hiillen eine dritte Kugel ein, und die Mittelpunkte der drei Kugeln sind im Drehpunkt O vereinigt. Weiter folgt: Jede Kante enthalt nur zwei Eckpunkte und ist nur in zwei Seiten enthalten, und damit ist die friihere Forderung c) S. 25 von selbst erfullt. i . Entartete i W e n n die Ebene einer Seite und damit die Ebenen aller Seiten durch den Drehpunkt O gehen, so entsteht ein entartetes Vielflach. D a in einem solchen an jeder Kante nur eine Seite liegt, so widerspricht es der Voraussetzung b), S. 25, und m a n konnte es nur dadurch einordnen, dafi m a n jede Seite des entarteten Vielflachs doppelt iiberdeckt denkt. Jedoch sehen wir von solchen Vielflachen ab (Einschrankung IL). Jede Seite besteht jetzt aus einem ebenen Vieleck mit gleichGeometr. langen Seiten (den Kanten des Vielflachs), dessen Eckpunkte auf Foigenmg. ejnem j^reise liegen, namlich auf d e m Schnitte der Ebene der Seite mit der durch die Eckpunkte gelegten Kugel, also aus einem regelmafiigen Vieleck, und in gleicher Weise zeigt man, dafi audi die tibrigen Voraussetzungen der geometrischen Definition eines regelmafiigen Vielflachs erfullt sind, die verlangt, dafi die Seiten kongruente regelmafiige Vielflache und die Flachenwinkel einander gleich sind, woraus die Kongruenz der Ecken folgt.1) Damit erscheint der Anschlufi unserer (gruppentheoretischen) Definition an die gewohnliche leicht erreicht. Es ist aber dabei eine Moglichkeit noch nicht benicksichtigt, dafi namlich zwei oder mehr Seiten, d. h. ebene Vielecke in derselben Ebene liegen. Dieser Fall trifft, wie sich im zweiten Teile dieser Arbeit ergeben wird, z. B. bei einem in 5 Oktaeder zerfallenden Vielflach ein, dessen Seiten ihre Ebenen mit denen eines Ikosaeders gemein haben. *) Chr. Wiener, Lehrbuch der darst. Geometrie (Leipzig, 1884), Nr. 154 bis 156, S. 126, 127.