Repository: UIHistories Project: Mathematical Models (1907 - German) [PAGE 33]

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Nr. 5. Die r g l a i g n V e f a h , a g l i e aus i r r Gruppe. e e m f i e illce beett he

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N u n l f t sich aber sofort zeigen, dafi die geometrische ai Definition gar keinen Aufschlafi iiber zerfallende Vielflache gibt. Denn wollte m a n diese Definition auf solche anwenden, so wurde z. B. eine beliebige Anzahl beliebig im Raume verteilter gleichgrofier Wiirfel ein regelmafiiges Vielflach bilden, was ganz unzulassig ist. Nach unserer Definition erkennt m a n sofort, dafi z, B. die Gesamtheit der beiden Tetraeder, die Hemiedrien eines Oktaeders sind (Modell. Nr. Ill), als regelmafiiges Vielflach aufzufassen ist, dagegen entstehen bei dem oben erwahnten Beispiel der 5 Oktaeder Zweifel; denn die Definition fordert, dafi jede Seite in jede andere durch eine Drehung der Gruppe iibergefiihrt werden konne, und dies t i f , falls m a n unter rft Seiten die Vieiecke versteht, bei zwei in einer Ebene liegenden Dreiecken jener 5 Oktaeder nicht zu. Wollten wir nun die Obereinstimmung dadurch herstellen, dafi wir als Seite nicht das Vieleck, sondern seine Ebene bezeichnen, so wtirden wir zwar die geometrischen Elemente Punkt, Gerade und Ebene f i die Stiicke ir des Vielflachs verwenden, kamen aber in Widerspruch mit unseren friiheren Ausfiihrungen, nach denen der Zusammenschlufi des Vielflachs gerade durch die als Ketten gebildeten Seiten geschieht A n diesen Bildungen miissen wir festhalten, und konnen die „Seite" also nur als ein ebenes (im allgemeinen Falle windschiefes) Vieleck auffassen. Zunachst scheint es, dafi wir hierdurch ein f i die Theorie m. iWuhrir der regelmafiigen Vielflache wichtiges Prinzip, namlich die Daali- veecee iiek.r tat verletzen, wenn wir nicht gleichzeitig fordern, dafi auch an jedem Eckpunkt, an dem zwei (oder mehr) Vielkante zusammenstofien, jedes dieser in das andere durch eine Drehung der Gruppe iibergefiihrt werden konne (Einschrankung III). Unbedingt notwendig ist jedoch diese Forderung nicht. Wir bauten das „begriffliche Vielflach" auf, indem wir von Punkten als urspriinglich gegebenen Stiicken ausgingen; und m a n kann das Prinzip der Dualitat dadurch wahren, dafi m a n anstelle der Punkte die Ebenen setzt, und aus ihnen in dualem Verfahren die zu den vorigen dualen Gebilde zusammenfugt. Wahrend nun jedes Vielflach der Tetraeder- und Oktaedergruppe und die nicht zerfallenden Vielflache der Ikosaedergruppe die beiden einander dual gegeniiberstehenden Erzeugungen zulassen, kann die Gesamtheit der f i f Wiirfel, die in mit dem Dodekaeder die Eckpunkte gemein haben, nach unserer Definition nur dann als regelmafiig angesehen werden, wenn es aus den Eckpunkten erzeugt ist, und das dazu duale der f i f in