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Nr. 5. Die regelmafiigen Vielflache, abgeleitet aus ihrer Gruppe.

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V o n den genannten G r u p p e n berticksichtigen wir nur diejenigen, die nicht schon bei der Kongruenz oder Symmetrie ebener Figuren v o r k o m m e n , d. h. wir sehen von den zyklischen Gruppen und den Doppelpyramidengruppen ab und betrachten nur die d e m R^aume eigentiimlichen, d. h. die Tetraeder-, Oktaeder- und Ikosaedergruppe. A n m e r k u n g . Daft sich die sechs Forderungen a a) bis b y) nicht widersprechen, zeigt das Beispiel der P L A T O N i s c h e n Vielflache; daft m a n keine von ihnen entbehren kann, ohne gegen den landlauflgen Begriff des regelmaftigen Vielflachs zu verstoften, mag durch folgende Beispiele erlautert werden. Beim Aufgeben der Forderung b) wtirde die Gesamtheit zweier ahnlichen regelmaftigen Vielflache, die von ihrem Mittelpunkte aus gesehen ahnlich liegen, als ein regelmaftiges Vielflach gelten. Dabei geniigt a) nicht, denn verzichtete m a n auf /?), so wtirden vier Punkte, die in der Gruppe des Achsenkreuzes ein regelmaftiges Punktsystem bestimmen, mit ihren Verbindungsgeraden und -Ebenen als ein regelmaftiges Tetraeder bezeichnet werden, wahrend doch nur je zwei Gegenkanten einander gleich sind. Fugt m a n /?) hinzu, so hat dies zur Folge, daft die Gruppe des Achsenkreuzes zu keinem regelmaftigen Vielflache Anlaft gibt. Auch die Bedingungen a) und /?) zusammen reichen nicht aus, denn m a n kann z. B. aus den Ecken und Kanten eines gewohnlichen regelmafiigen Ikosaeders ein Vielflach konstruieren, das zu Seiten 10 regelmaftige Dreiecke und 6 gewohnliche regelmaftige Fiinfecke besitzt, das also sicher nicht als regelmaftig angesehen werden kann, obwohl es den Bedingungen a) und /?) geniigt. Zur Begriindung des eingeschlagenen W e g e s m a g hier eine vergieichung Vergleichung der gruppentheoretischen Definition mit der geo- gewShni. r e . >f metrischen Platz finden, wahrend die Tragweite der in den verschiedenen moglichen Definitionen enthaltenen Voraussetzungen erst spater erortert wird. Fur die Geometrie zeigt sich neuerdings i m m e r m e h r das Bedtirfnis, Definitionen und Satze der Gruppentheorie anzupassen, und fur die Ableitung der regelmafiigen Vielflache ist der A n schlufi an diese Theorie eine geradezu selbstverstandliche Forderung. U n d doch ist der U b e r g a n g von der bisherigen Auffassung zu der gruppentheoretischen keineswegs so einfach, als m a n glauben konnte; denn die letztere stellt viel allgemeinere Begriffe auf, die mit den geometrischen erst durch Einschrankungen in Ubereinstimmung gebracht werden konnen. Die Gruppentheorie bedient sich allgemeiner Verkniipfungen, wie wir sie a m Anfang besprochen haben, und diese ergaben die „windschiefen Seiten" und damit eine Erweiterung der bisherigen