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H. WIENER.

erster Art (hier Kanten) und damit sind die Voraussetzungen zur Bildung eines begrifflichen Vielflachs an E erfullt, und der Satz ist bewiesen. Die Bildung der Vielkante (Eckenbildung), die fruher (Satz I.) durch Verkniipfung der Stiicke zweiter und dritter Art bewirkt wurde, die einem Stiicke erster Art (einem Eckpunkte) benachbart waren, fiihrt hier zu d e m Satz lib. A n jeder Kante eines Vielzells (als einem Stiick erster Art) bilden die mit ihr verkniipften Seiten (Stiicke zweiter Art) und Zellen (Stiicke dritter Art) eine oder mehrere Ketten. Die Modelle von V. S c h l e g e l , die als Projektionen von regelmafiigen vierdimensionalen Vielflachen gedacht sind, stellen in unserm R a u m e solche — allerdings nicht regelmafiige — Vielzellen dar.

II. Erste und zweite Definition des regelmafiigen Vielflachs aus der Gruppe. i und 2. Def. . Definition. Ein raumliches Vielflach nennen wir regelmafiig, w e n n es eine Gruppe von einer endlichen Anzahl von Drehungen1) gibt, in der a) alle Ecken, ft) alle Kanten, y) alle Seiten des Vielflachs regelmafiige Systeme bilden. Dabei bezeichnen wir ein System von irgendwelchen Stiicken in einer Gruppe (in unserem Falle von Drehungen) als regelmdfiig2), wenn a) jede Drehung der Gruppe jedes Stiick des Systems wieder in ein solches iiberfiihrt, und w e n n b) jedes Stiick des Systems in jedes andere durch wenigstens eine Drehung der Gruppe iibergefiihrt wird3) Unter „Ecken" sollen vorlaufig die Eckpunkte verstanden werden, es wird sich jedoch als wiinschenswert erweisen, d e m Worte auch eine andere Bedeutung unterlegen zu konnen, so dafi eigentlich zwei Definitionen in der obigen enthalten siud. x) Unter „Drehung" ist hier nur eine Beziehung der Anfangs- zur Endlage verstanden unter Ausschaltung der als unwesentlich angesehenen Zwischenlagen, also nicht eine stetige Folge von Lagen, sondern eine „Abbildung" der Anfangsauf die Endlage. 2) Man vergleiche die Ausfuhrungen liber die „Regelmafiigkeit in einer Gruppe" in Nr. 3 dieser Abhandlungen (S. 12—14). 3) Diese Eigenschaft wird in der Gruppentheorie „Transitivitat" genannt.