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Nr. 5. Die regelmafiigen Vielflache, abgeleitet aus ihrer Gruppe.

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A n m e r k u n g . Als Beispiel eines zerfallenden Vielflachs mogen die funf einem Dodekaeder eingeschriebenen Wlirfel dienen, deren Gesamtheit, wie wir sehen werden, in gewissem Sinne ein regelmafiiges Vielflach bildet; in ihm stofien an jeder Ecke zwei Dreikante zusammen. Das dazu duale Vielflach, aus fiinf einem Ikosaeder -umschriebenen Oktaedern bestehend, zeigt in jeder Seite zwei regelmafiige Dreiecke und endlich hat die Gesamtheit der zehn einem Dodekaeder eingeschriebenen fund gleichzeitig einem Ikosaeder umschriebenen) Tetraecler an jeder Ecke zwei Dreikante und in jeder Seite zwei Dreiecke. E s m a g hier noch gezeigt werden, in welcher Weise diese Das V e z l . ilel Bildungen fortgesetzt werden konnen, w e n n audi im folgenden von diesen Erweiterungen kein Gebrauch gemacht wird. Wir fiihren das vorhin gebildete Vielflach als neues Stuck ein und bezeichnen es dann als eine „Zelle", wahrend wir das daraus zusammengesetzte neueGebilde etwa ein „Vielzell" nennenkonnen. Wir n e h m e n dann an, dafi durch Verknupfung einer gegebenen Anzahl von Stiicken erster Art (Eckpunkten) solche zweiter Art (Kanten), dritter Art (Seiten) und vierter Art (Zellen) gebildet seien, in der Weise, dafi 1) an jedem Eckpunkt wenigstens vier Zellen und 2) an jeder Kante wenigstens drei Zellen v o r k o m m e n , und dafi 3) an jeder Seite zwei und nur zwei Zellen z u s a m m e n stofien. D a n n beweisen wir den S a t z II a. A n jedem Eckpunkte eines Vielzells schliefien sich die mit ihm verknilpften Kanten, Seiten u n d Zellen zu einem oder mehreren begrifflichen Vielflachen z u s a m m e n . Greift m a n namlich irgend eine der mit d e m betrachteten Eckpunkte E verknilpften Zellen heraus, so sind in ihr an E mittels der „Eckenbildung des Vielflachs" (Satz I ) die Kanten und Seiten zu . einer „Kette" (oder zu mehreren) verkniipft; diese Ketten, von denen jede d e m Eckpunkte E benachbarteZelle eine einzige liefert, fiihren wir als Stiicke der dritten Art (den Seiten derVielflache entsprechend) ein, wahrend die Kanten und Seiten als Stiicke erster und zweiter Art gelten (also den Ecken und Kanten der Vielflache entsprechen). D a jede Seite in jeder dieser Zellen nur einmal vorkommt, aber jede Seite zwei Zellen verkniipft, so haben die Seiten die frtiher von den Stiicken zweiter Art verlangte Eigenschaft, zwei und nur zwei Stiicke dritter Art (frtiher Seiten, hier Ketten) zu verkniipfen; aufierdem verkniipft jede dieser Seiten zwei und nur zwei Stiicke