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Nr. 5. Die regelmafMgen Vielflache, abgeleitet aus ihrer Gruppe.

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der Reihe nach mit einander verkniipften Stiicken der einen Art (Eckpunkten) E „ E2, . . . En_n En und aus den sie verkniipfenden Stiicken der anderen Art (Kanten) k12, k23, . . . kn_i>n, kn>1, wobei die genannten Stiicke E so aus alien ausgewahlt seien, dafi jedes mit zwei und nicht m e h r der ausgewahlten Stiicke E verkniipft sei, namlich E± durch k12 mit Ea9 dieses durch k23 noch mit E3 u. s. f. und endlich En durch kn> ± mit Et. Die Kettenbildung gilt fiir irgend zweierlei Arten von verkniipften und verkniipfenden Stiicken; auf geometrische Eckpunkte und Kanten angewandt, liefert sie i. a. ein windschiefes Vieleck, und es sind gewisse Bedingungen zu erfiillen, damit daraus ein ebenes Vieleck werde. Bei den regelmafiigen Vielflachen ordnet in den wichtigeren Fallen die erzeugende Gruppe selbst die Kette in einer Ebene an, es wird jedoch gerade die Beriicksichtigung der „windschiefen Kette" den G a n g spaterer Untersuchungen bestimmen. D a s so g e w o n n e n e Vieleck fiihren wir als neues Stiick des zu bildenden Vielflachs ein und bezeichnen es dann als „Seite" x) des Vielflachs. U m nun solche Seiten zu einem geschlossenen Vielflach zusammenzufiigen, stellen wir dieser „Seiten-bildenden" Kette noch eine zweite, die „Ecken- oder Vielkant-bildende" gegeniiber. Hierzu n e h m e n wir an, dafi a) jeder Eckpunkt wenigstens mit drei andern Eckpunkten durch Kanten verkniipft sei, und dafi b) jede Kante bei der Biidung von zwei und nicht m e h r Vielecken verwendet sei. Wir fiigen ferner die Einschrankung hinzu, dafi c) durch je zwei an einem Eckpunkte zu einem Vieleck verkniipfte Kanten nur ein einziges Vieleck gehe. D a n n gilt der Satz L An jedem Eckpunkte bilden Kanten und Vielecke (Seiten) eine oder m e h rere geschlossene Ketten. 2) Wahrend in der Ebene Linien, insbesondere Geraden als „Seiten" eines Vielecks auftreten, miissen im Raume die Raum teilenden Gebilde, also Flachen, insbesondere Ebenen als Seiten bezeichnet werden. Die „windschiefen Seiten" sind dann im iibertragenen Sinne zu nehmen, es sei aber bemerkt, dafi auch einem geschlossenen, gebrochenen Linienzug eine gewisse Stellung und Flachengrofie zukommt, die durch eine der Streckenaddition entsprechende „Flachenaddition" gewonnen wird. Biidung