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H. WIENER.

Sternfiinfecken und den entsprechenden Drei- und Fiinfkanten auf die 6 (PLATONischen, KEPLERschen und PoiNSOTschen) Vielflache der Ikosaedergruppe. Im Vorstehenden habe ich versucht, zu schildern, wie die scheinbar so einfache und selbstverstandliche Forderung, die regelmafiigen Vielflache aus ihrer Gruppe abzuleiten, auf eine Reihe nicht unwichtiger Vorfragen fiihrt; da diese sich erst bei der Ausarbeitung aufdrangten, und die nachtragliche Einfiigung der in den ersten Abschnitten enthaltenen abstrakten Betrachtungen eine mehrmalige Umarbeitung des spateren Stoffes notig machte, so hat sich die Fertigstellung dieser Arbeit und damit die Herausgabe des ersten Heftes der „Abhandlungen" sehr verzogert, zumal mir dafiir nur ein beschrankter Teil meiner Zeit zur Verfligung stand.

Erster Teil: Aufbau der regelmafiigen Vielflache. I. Das begriffliche Vielflach. U m die Untersuchungsweisen dieser Arbeit auf beliebige abstrakte Gruppen anwendbar zu machen, fiihren wir den Begriff des Vielflachs auf Verkniipfungen gegebener Grundstiicke (Elemente) zuriick. Dadurch behalt einerseits der Begriff des Vielflachs auch bei ebenen Gebilden, ja selbst in der geraden Linie (allgemein in zwei- oder eindimensionalen Gebieten) seine Bedeutung bei, wahrend m a n sonst in diesen Fallen von entarteten Vielflachen spricht, andererseits werden unsere Betrachtungen erweiterungsfahig auf hohere, sonst als vier- oder mehrdimensional bezeichnete Vielflache, ohne dafi wir das Gebiet des dreidimensionalen Raumes verlassen mufiten. Biug idn Wir denken uns zunachst als Grundstiicke eine endliche Anzahl von Punkten gegeben, die wir, weil sie spater zu Ecken ausgebildet werden, als Eckpunkte bezeichnen, und gewinnen aus ihnen eine neueArt vonStiicken, die „Kanten", indem wir alsKante das Ergebnis der Verkniipfung zweier Eckpunkte bezeichnen. 1st eines der gegebenen Stiicke (Eckpunkte) mit zwei anderen durch zwei der neuen Stiicke (Kanten) verkniipft, so betrachten wir auch diese beiden neuen Stiicke als verkniipft durch das ihnen gemeinsame erste Stuck (den Eckpunkt). U m ein weiteres neues Stiick, das dem geometrischen Begriff der Seite (Seitenflache) entspricht, zu gewinnen, definieren wir ein aus zweierlei mit einander verkniipften Stricken erzeugtes Gebilde, die „geschlossene Kette". Sie besteht aus n