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H. Wiener.

zige Umrififigur auf, das Sechseck, im besondern als regelmafiiges Sechseck. D a s Tetraeder zeigt als Umrisse ein Dreieck oder ein Viereck, das Oktaeder ein Viereck oder ein Sechseck, das Dodekaeder ein Zehneck oder ein Zwolfeck, das Ikosaeder ein Sechseck oder ein Achteck oder ein Zehneck und im besonderen konnen diese Figuren — mit A u s n a h m e des Zwolfecks beim Dodekaeder und des Achtecks beim Ikosaeder — regelmafiig werden. Die beiden ausgezeichneten Lagen des Strahles (in der Flache oder in der Kante) liefern beim Tetraeder ein Dreieck als Umrifi; die erste ausgezeichnete Lage (in der Flache) beim Wiirfel ein Rechteck, beim Oktaeder ein Parallelogramm, die zweite Lage (in der Kante) beim Wiirfel ein Quadrat, beim Oktaeder einen R h o m bus. B e i m Dodekaeder liefert die erste Lage ein Achteck, die zweite ein Sechseck; beim Ikosaeder die Lage des Strahls in einer Flache ein Achteck oder Sechseck, in zwei mit einer Ecke, aber keiner Kante zusammenstofienden Flachen, ein Sechseck, und die Lage des Strahls in einer Kante gleichfalls ein Sechseck. Begrift des Durch das Projizieren dieser Drahtmodelle auf eine Tafel lafit *egeima6igen. gich auch dje ^egeimafiigkeit dieser Vielflache erlautern. M a n kann das Modell aus einer Anfangslage herausheben und in solche neue Lagen bringen, dafi irgend eine Ecke an die friihere Stelle einer beliebig gewahlten anderen k o m m t , und an dieser Ecke kann noch irgend eine durch diesen Punkt gehende Kante oder Flache mit jeder anderen Flache der Ecke zur D e c k u n g gebracht werden, so dafi sich das Vielflach in der neuen Lage vollig mit d e m in der alten Lage hinzu gedachten deckt. In dieser Eigenschaft aber spricht sich das W e s e n des regelmdfiigen geometrischen Gehildes aus. A u c h im Bilde (Schatten) lafit sich durch eine solche Drehung des korperlichen Modells beweisen, dafi dieses regelmafiig ist, da bei einer jeden der unendlich vielen moglichen Projektionen ein Decken der gedrehten Lage mit der ursprunglichen eintritt. Anwendung auf Krystalle, Der soeben fur die Vielflache gegebene Begriff des Regel, 1 Tr nr mafiigen findet bei der Aufstellung aller moglichen Krystallformen eine wichtige A n w e n d u n g , indem diese F o r m e n aus regelmdfiigen Punktsystemen abgeleitet werden. W i e vorhin bei den regelmafiigen Vielflachen die G r u p p e aller Drehungen u m einen festen Punkt zu grunde lag, so hat m a n hier von solchen Abbildungen auszugehen, die den ganzen R a u m in sich uberfuhren, und es hat sich dabei herausgestellt, dafi die Gruppe aller kongruenten