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Nr. 3. PLATONische Vielflache. Regelmafiigkeit.

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Abbildungen noch durch diejenigen zu erganzen ist, die den R a u m in einen spiegelgleichen iiberfuhren *). L. S o h n g k e definiert2): „Krystalle — unbegrenzt gedacht — sind regelmafiige unendliche Punktsysteme, d. h. solche, bei denen u m jeden Massenpunkt herum die A n o r d n u n g der iibrigen dieselbe ist, wie u m jeden anderen Massenpunkt". Jedes solche Punktsystem bestimmt eine Gruppe (in besonderen Fallen mehrere Gruppen) von Abbildungen, die den R a u m kongruent oder Spiegelgleich in sich iiberfuhren und die Punkte des Systems unter einander vertauschen3), und umgekehrt bestimmt jede solche Gruppe regelmafiige Punktsysteme, die m a n erhalt, indem m a n irgend einen Punkt des R a u m e s alien Abbildungen der Gruppe unterwirft. Die Frage nach alien von einander wesentlich verschiedenen regelmafiigen Punktsystemen, also nach alien Krystallformen verschiedener Struktur, fiihrt daher auf die Frage nach alien wesentlich verschiedenen Gruppen von Abbildungen, die den R a u m kongruent oder spiegelgleich in sich iiberfuhren, vorausgesetzt, dafi m a n sich dabei auf Gruppen diskreter Abbildungen beschrankt. Dementsprechend ergibt sich uberhaupt der Begriff des Regelmafiigen fiir Punktsysteme als abhangig von der Gruppe der Abbildungen, die m a n zu grunde legen will, so dafi sich mit dieser auch die Gesamtheit der von ihr erzeugten regelmafiigen Gebilde andert. Beispielsweise wird die Gesamtheit von n Punkten der Ebene fiir eine G r u p p e von Drehungen u m einen festen Punkt in der Ebene dann und nur dann regelmafiig sein, w e n n sie die Ecken eines regelmafiigen /z-Ecks bildet; n i m m t m a n aber zu dieser Gruppe noch symmetrische Abbildungen der Ebene hinzu, so werden schon die Eckpunkte eines sonst als halbregelmafiig J) Diese Auffassung legt Chr. W i e n e r seiner Theorie der Entstehung der Krystalle zu grunde. („Die Grundziige der Weltordnung". Leipzig u. Heidelberg, 1863, S. 82 f . f) 2) L. S o h n c k e : „Entwickelung einer Theorie der Krystallstruktur". Leipzig 1879, S. 28. Die obige Erklarung wird von S o h n c k e „als einzige zur Begriindung seiner Theorie notige Hypothese" eingeftihrt. Sie i t ein anderer Auss druck der von Chr. W i e n e r a. a. O. gegebenen Definition. 3) Wie die Spiegelung fassen wir die Uberftihrung eines raumlichen Systems in ein kongruentes auch als „AbbiIdung" auf, da es sich hier nur um die Beziehung der Anfangs- auf die Endlage und nicht um eine stetige Folge von Zwischenlagen handelt.