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Raumkurven.

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acht Falle. M a n gehe zunachst, wie dies aueh sonst geschieht, von drei Ebenen aus, von denen die eine die Schmiegungsebene der betrachteten Stelle ist, wahrend die zweite durch die Tangente und die dritte durch den Punkt hindurchgeht. Diese drei Ebenen, die m a n , u m nicht auf schiefe Symmetrien gefuhrt zu ,werden, paarweise zueinander senkrecht annehme, teilen den R a u m in Oktanten, aus deren einem k o m m e n d die Kurve in die Stelle einlauft, wahrend ihr Forts chreiten aus der Stelle heraus gleichfalls in irgendeinem der Oktanten erfolgen kann. Dieser letztere Oktant kann achterlei Lagen gegen den ersteren haben, und damit erhalt m a n die 8 Falle. N u n geht aber der erste Oktant, wenn er nicht gerade mit d e m zweiten identisch ist, in ihn iiber durch eine Spiegelung entweder an einer der drei Ebenen, oder an einer der drei Schnittgeraden, oder an ihrem Schnittpunkt. V o n diesen sieben Spiegelungen sind die an Punkt, Tangente und Schmiegungsebene ausgezeichnet, und die anderen vier lassen sich als Folge von je zwei dieser drei Spiegelungen oder von alien dreien darstellen. Indem m a n z. B. an Punkt, Tangente und Schmiegungsebene spiegelt (gleichviel in welcher Reihenfolge) erhalt m a n die Lage des zweiten Oktanten zum ersten, die einer singularitatenfreien (gewohnlichen) Stelle entspricht. Allgemein gilt der Satz, dafi an der betrachteten Stelle dasjenige der drei E l e m e n t e P u n k t , T a n g e n t e , S c h m i e g u n g s e b e n e eine R u c k k e h r hat, das in dieser Spiegeifolge nicht beniitzt ist, u n d dasjenige ein Forts chreiten, dasbeniitzt ist.*) In den Modellen sind die Raumkurven so gewahlt, daB nicht nur die Oktanten, sondern auch die beiden Teile der Raumkurve selbst in der verlangten Weise ineinander gespiegelt werden, beim achten Fall (Nr. 328), in d e m die Kurve an der betrachteten Stelle eine Ruckkehr des Punktes, der Tangente und der Schmiegungsebene vereinigt zeigt, lauft die Kurve in denselben Oktanten zuruck, aus d e m sie kommt. D a im projektiven Sinne die Spiegelung an einem Punkt oder an einer Ebene oder an einer Geraden eine harmonische Spiegelung an diesem Element und an der unendlich fernen Ebene oder an d e m zur Ebene in senkrechter Richtung unendlich fern gelegenen Punkte-oder an der zur Geraden in senkrechter Stellung unendlich fern gelegenen Geraden bedeutet, so folgt aus der gewahlten Lage der dreierlei Elemente beider Stellen, daB an II die duale Singularitat herrschen m u B zu der an I. In der Gruppe A bilden die Punkte der Stellen I und II Ecken, die Tangenten Gegenkanten, die Schmiegungsebenen Seiten eines Tetraeders, von d e m eine Seite unendlich fern liegt. Bildet m a n dieses Tetraeder kollinear in sich ab, so daB die Punkte der Stellen I und II ins Unendliche fallen, so erhalt m a n aus den 8 Fallen der Gruppe A die der Gruppe B. Auch diese zeigt, abgesehen vom letzten Fall, die Kurven in symmetrischen Gestalten. ! Vgl. H . W i e n e r in den Verb, des III. Int. Math. Kongr. a. a. O. Zusatz II. )