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Raumkurven.

Dieser Vorteil aber tritt weit mehr als bei den im Endlichen verlaufenden Kurventeilen bei solchen hervor, die sich ins Unendliche erstrecken. D e n n riickt (Gruppe B) der Punkt ohne seine Tangente und Schmiegungsebene ins Unendliche, so ist seine Tangente. (Asymptote) eine Erzeugende der im Endlichen zu verfolgenden abwickelbaren Flache und nur die Schneide der Flache geht, jener Erzeugenden sich asymptotisch nahernd, ins Unendliche. Riickt aber auch die Tangente ins Unendliche, wahrend die Schmiegungsebene im Endlichen bleibt, so kann an dieser der Verlauf der Flache ohne weiteres verfolgt werden und der der Kurve insofern, als jene Schmiegungsebene aus der abwickelbaren Flache eine Parabel (zweiter oder hoherer Ordnung) ausschneidet, der sich die Kurve asymptotisch nahert*), wahrend sich die Schmiegungsebene des hinausriickenden Punktes in die des unendlich fernen Punktes hineindreht. A m schwierigsten ist es (Gruppe A, Stelle II), sich von d e m Verlauf einer Raumkurve Rechenschaft zu geben, wenn an der betrachteten Stelle auBer d e m Punkte und der Tangente auch die Schmiegungsebene ins Unendliche riickt. D a die in dieser Ebene sich anschmiegende Kurve selbst ins Unendliche fallt, m u B m a n zur Untersuchung des Verlaufes durch weitere der unendlich fernen Stelle benachbarte Elemente eine anschmiegende Kurve legen; dies wird dann eine R a u m k u r v e sein. Die Modelle der Gruppe A enthalten Kurven, die als solche anschmiegende Raumkurven einfachster Art aufzufassen sind, und es ist zu zeigen, wie an ihnen der Verlauf ins Unendliche verfolgt werden kann: M a n bringe zuerst die Richtung des unendlich fernen Punktes und die Stellung seiner unendlich fernen Tangente in eine bequem zu verfolgende Lage, erstere etwa vertikal aufsteigend, letztere sich vertikal von vorn nach hinten erstreckend (vgl. die Figur Nr. 321). Hierauf denke m a n sich durch die Raumkurve einen Zylinder (zweiter oder hoherer Ordnung) gelegt, dessen Erzeugende nach d e m unendlich fernen Punkte der Raumkurve, also vertikal gerichtet sind. Diesen Erzeugenden nahern sich die nach beiden Seiten hinauswandernden Tangenten asymptotisch, wie m a n im Modell an den beiden auBersten Teilen der abwickelbaren Flache leicht verfolgen kann, und vereinigen sich im Unendlichen in der durch jene vertikale Ebene angegebenen Stellung, also in der unendlich fernen Erzeugenden des Zylinders. Die in den Modellen wiedergegebenen Raumkurven konnen als einfachste ihrer Art bezeichnet werden, weil sie rationale Kurven niedrigster Ordnung sind, die an einer Stelle eine vorgeschriebene Singularity und an einer zweiten die dazu duale enthalten, zwischen beiden aber vollig singularitatenfrei verlaufen, und weil sie ferner ein ,gr6Btes M a B von S y m m e t r i e besitzen. Durch die Art der Symmetrie erhalt m a n aber ein einfaches, und wie es scheint, bisher nicht beachtetes Merkmal zur Unterscheidung der

*) In den Modellen ist als parabolische Asymptote eine andere gewahlt (vgl. oben), die bei der Besonderheit der gewahlten Raumkurven dasselbe leistet, wie die hier erwaknte.