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Raumkurven.

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Bezeichnet man*) das Fortschreiten eines Elementes mit —, das Riickkehren mit - \, so sind die 8 Falle in der folgenden Tabelle enthalten, von der jedes Feld das Zeichen des Punktes, der Tangente und der Schmiegungsebene (in dieser Reihenfolge) enthalt: GruppeA, Nr. Gruppe B, Nr. Stelle I Stelle II 321 329 —: 322 330 323 33^ 324 332 325 333 326 334 327 335 328 336

- - + - + - + _ + — - + - —

— - + + + - + + + + + + - + - + - + + + + +

D a s erste Modell jeder G r u p p e (321 u n d 329) stellt eine singularitatenfreie R a u m k u r v e dar, die drei folgenden zeigen an jeder der beiden Stellen eine Riickkehrschmiegungsebene oder eine Riickkehrtangente oder einen Riickkehrpunkt. Diese 4 Modelle jeder Gruppe geben also die wichtigsten Vorkommnisse an. In d e n folgenden drei Modellen sind zwei u n d im letzten drei Ruckkehrelemente gehauft. Die Raumkurve ist durch eine Folge von Tangenten, also durch ihre abwickelbare Flache dargestellt, bei der zweiten Gruppe ist die geradlinige Asymptote der Stelle I und eine asymptotische ebene Parabel (zweiter oder hoherer Ordnung) der Stelle II hinzugefiigt; fur letztere ht der Schnitt der Schmiegungsebene des unendlich fernen Punktes II mit dem Zylinder gewahlt, durch den die Kurve in der Richtung des unendlich fernen Punktes I projiziert wird. Als Begrenzung ist ein Wiirfel gewahlt, in dessen Mitte bei der ersten Gruppe der Punkt I gesetzt ist, wahrend seine Tangente und Schmiegungsebene parallel einer Seite und Kante des Wiirfels gestellt ist. Bei der zweiten Gruppe ist die Asymptote der Stelle I und die dazu senkrecht gestellte asymptotische Schmiegungsebene der Stelle II parallel einer Kante und einer Seite des Wiirfels gestellt, ihr Schnittpunkt ist in die Mitte des Wiirfels gesetzt. Der Grenzwiirfel ist durch seine Kanten in schwarzem Draht angegeben, seine Schnittlinien mit der abwickelbaren Flache in blanken Messingdrahten, die durchbohrt sind und die Faden zur Darstellung der Tangenten tragen. Die Doppelkurven der abwickelbaren Flache sind in diinnem blanken Messingdraht, und die geradlinigen und parabolischen Asymptoten der zweiten Gruppe in roten Drahten eingefiigt. U m den Verlauf einer R a u m k u r v e zu verdeutlichen, ist keine Darstellung so geeignet, wie ein Fadenmodell ihrer abwickelbaren Tangentenflache.**) Demi- an einem solchen Modell tritt auBer d e n T a n g e n t e n selbst in der scharfen Schneide der Flache die P u n k t k u r v e deutlich hervor, wahrend die durch je zwei aufeinanderfolgende (unendlich nahe gedachte) Tangenten gelegten E b e n e n , die Schmievungsebenen angeben u n d so die R a u m k u r v e als Hiillkurve ihrer S c h m i e g u n g s e b e n e n erscheinen lassen. *) Nach V. Staudt, Geometrie der Lage S. HO. Die umgekehrte Bezeichnung hat Chr. W i e n e k , Lehrbuch der darst. Geom. I. Band S. 214 gewahlt, jedoch spricht fur die erstere, daB — I die Charakteristik der Spiegelung ist, auf die es, wie im folgenden gezeigt wird, hier ankommt. **) In der Sammlung des Lehrstuhles der darstellenden Geometrie zu Karlsruhe finden sich auBer den bekannten Drahtmodellen der Singularitaten von Raumkurven eine zugehorige Reihe von Fadenmodellen, die C h r . W i e n e r durch seine Schiiler hat herstellen lassen. Ferner hat Bjorling in Lund eine Reihe solcher Modelle veroffentlicht. Beide Reihen beschranken sich auf Darstellung einer endlich gelegenen Stelle und weichen auch in der Ausfuhrung wesentlich von den hier gegebenen ab.