Repository: UIHistories Project: Mathematical Models (1912 - German) [PAGE 30]

EXTRACTED TEXT FROM PAGE:

22

Dreh- und Schraubenflachen.

und verdeckten (im Modelle sichtbaren) Teilen auftretenden scheinbaren Spitzen zu beachten. Eine andere Klasse von Erscheinungen sollen die beiden R e g e l schraubenflachen veranschaulichen. Fur das Erfassen negativ gekriimmter Flachen im Bilde ist das System der H a u p t t a n g e n t e n k u r v e n (Asymptotenkurven) wichtig, die durch Aneinanderreihen aufeinanderfolgender Haupttangenten entstehen, d. h. der an einer negativ gekrummten Stelle der Flache konstruierten Asymptoten der DuPiNschen Indicatrix (oder anders ausgedriickt der Flachentangenten, die wenigstens drei aufeinanderfolgende Punkte mit der Flache gemein haben). Die obenerwahnten scheinbaren Spitzen treten an solchen Stellen auf, w o eine Haupttangente durch das Auge. geht; ist dies aber an einer Stelle, w o die Asymptotenkurve u m den wahren UmriB herumgeht, nicht der Fall, so hat diese einen scheinbaren Wendepunkt. Der scheinbare UmriB ist also der Ort der scheinbaren Wendepunkte der Asymptotenkurven, gleichzeitig ist er aber auch Hiillkurve der Wendepunktetangenten. Auf R e g elf la. ch en (die nicht von der 2. Ordnung oder abwickelbar sind) zerfallen die Asymptotenkurven in zwei getrennte Schar en, namlich in die Regelschar und in eine krummlinige Schar. D a die beiden Asymptotenrichtnngen eines Flachenpunktes zu alien konjugierten Richtungen des Punktes harmonisch sind, kann m a n bei Regehiachen aus der bekannten Richtung der geraden Erzeugenden und einem (giinstig gewahlten) Paare konjugierter Richtungen die Richtung der krummen Asymptotenlinie und damit die Richtungen aller konjugierten Paare finden; daraus ergeben sich mancherlei Anwendungen auf die Konstruktion von Schattengrenzen, Hellegleichen und auf ahnliche Aufgaben. Auf der WendelflSche (Nr. 512) treten als Haupttangentenlinien neben der (zur Achse senkrechten) Regelschar die Schraubenlinien auf, die zugleich Bahnlinien bei der Erzeugung der Flache durch Schraubung sind. Im M o dell erscheinen diese Kurven fur ein unendlich femes Auge als eine Schar von Zykloiden, und zwar scheidet eine Schraubenlinie, die als gespitzte Zykloide erscheint, zweierlei Gebiete, deren eines verschlungene, das andere geschweifte Zykloiden zum Bilde hat; die W e n d e punkte selbst sind die obenerwahnten Punkte des scheinbaren Umrisses, der seinerseits eine gespitzte Zykloide von halber H o h e und halber Ganglange ist. Sein Urbild auf der Flache, d. h. der wahre UmriB, ist eine Schraubenlinie ganz anderer Art als die genannten; sie gehort der Schar von Schraubenlinien an, die durch Drehzylinder mit einer in die Achse fallenden Erzeugenden ausgeschnitten werden, und die zur Ganghohe die halbe Ganghohe der Schraubenflache haben. Eine solche Kurve in zwei Umgangen ist d e m Modell ,beigegeben und kann durch die Achse durchgesteckt werden. Ein Ausschnitt der WendelflSche (Nr. 512a) soil die Steigung der Bahnschraubenlinie in ihrer Abhangigkeit vom Radius veranschaulichen.