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Dreh- und Schraubenfiachen.

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angehorend, im Modell selbst dunkle Linien auf seinen hinteren Teilen. Beide bilden zusammen ein System von ,,Verdeekungslinien".*) Bei den Schraubenfiachen bleiben sie zwar sich selbst kongruent, verschieben sich aber in der Richtung der Achse. Die W a h l des Linien systems fiir die Darstellung der Flache hangt von den Eigenschaften der Flache ab, die m a n hervorheben will. Parallelkreise sind nur bei der Kugel (Nr. 407) angewandt, da hier auf das Drehen verzichtet werden kann; es ist eine solche Schar von Parallelkreisen gewahlt, deren Ebenen in gleichen Abstanden aufeinanderfolgen, wie sie in den Helligkeitsstufen bei Parallelbeleuchtung auftreten. Beim senkrechten Projizieren liefern diese Kreise ahnliche und paarweise ahnlich liegende Ellipsen, die v o m UmriBkreis in zwei reellen oder imaginaren Punkten von aufien beriihrt werden; den Ubergarig zwischen beiderlei Beriihrung bildet eine Ellipse, fur die der UmriB ein umfassender ScheitelKrummungskreis ist. Bei schiefer Parallelprojektion auf eine zu den Kreisen parallele Tafel erscheinen diese als eine Schar von Kreisen, die die UmriJBellipse reell oder imaginar von innen doppelt benihren; den Ubergang bildet der von innen beruhrende Scheitel-Krummungskreis; von Grenzgebilden treten die Brennpunkte als Nullkreise auf. Beim Kreisring (Nr. 501) lassen die Meridiankreise die Linie des scheinbaren Umrisses als ihre Hiillkurve erscheinen (s. die Figur). Der innere UmriB ist ein viergespitzter Linienzug, der in alien Lehrbiichern der darstellenden Geometrie abgebildet ist, aber an den bisherigen Modellen nur in seinem kleinsten Teil sichtbar war. Durch Lagenanderung der Achse gegen das Auge k o m m e n die verschiedenen Formen dieser Kurve zur Anschauung. Die Flache ist wegen ihrer technischen Anwendungen und wegen der Fiille schoner geometrischer Eigenschaften ein beliebter Gegenstand des Unterrichts, es gewahren z. B. die obenerwahnte UmriBlinie als Schattengrenze, ihr Schlagschatten, und die Hellegleichen der Flache sehr einfache Konstruktionen. U m ahnliche Aufgaben fiir beliebige Drehfiachen zu 16sen, ist das Beispiel des Kreisrings gerade wegen der M e n g e besonderer Eigenschaften wenig. geeignet. Diesem Zwecke dienlicher ist die U r n e (Nr. 503), eine Drehflache, fiir deren Meridian eine zur Sinuslinie affine Kurve gewahlt ist. D a an der Sinuslinie, und damit auch an ihrem affinen Bilde die Tangente und die Schmiegungsellipse (die die K r u m m u n g bestimmt). fiir einen beliebigen Punkt leicht zu linden ist, bietet die strenge konstruktive Durchfiihrung der obigen Aufgaben keine Schwierigkeit. Unter den Schraubenfiachen nimmt die ROhrenflache (Nr. 515) eine entsprechende Stellung ein, wie der Kreisring unter den Drehflachenk Auch hier sind die Umrisse mit ihren an der Grenze zwischen vorderen *) H . W i e n e r , „Entwicklung geometrischer Formen", Verhandlungen des 3. Intern. Math.-Kongresses, Leipzig 1905.