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Geometrie. N1.

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Ac lit Nachbargebiete auf einer Flache v o m Geschlecht zwei. Mod ell Nr. 7: Entspricbt dem Schema fur n = 8 bei Heffter. Die Zahlen ei iniissen fur- eine Flache vom Geschlecht zwei folgende Bedingungen erfiillen e3 4" e4 ~r~ ..... + en = k~-n—2 3e3 + 4e4 +.... 4- n en = 2 k Bei uuserem Modell ist: e3 = 16; e4 = 2; e5 = e6 = e7 == e8 = o. Eiue unter den gegebenen Voraussetzungen von der vorgefiihrteri Eintoilung wesentlich verschiedene, welche hochstens noch die Form e3 = 17; e 4 = o ; e6 = 1; e6 = e7 = e8 = o haben konnte, gibt es nicht und mehr als 8 spatia confinia sind auf einer Flache vom Geschlechte zwei nicht moglich, (Abgedruckt aus dem Katalog der Math. Ausstellung; Deutsche Universitats-Ausstellung in Chicago.) Nachtrag. Im Vorstehenden sind fur Nachbargebiete auf Flachen vom Geschlecht eins die Gleichungen: e3 + e4 + • • • + e n = k — n; 3e3 + 4e4 + . . . - ) - nen — 2k fiir solche auf Flachen vom Geschlecht zwei die Gleichungen: e3 + ©4 + • • • + e« = k — n — 2 3e3 -)- 4e4 + . . . + ue „ = 2k angegeben. Indem in diesen Gleichungen dem index von e hochstens die Grosse n erteilt ist, werden solche Eioteilungen ausgeschlossen, bei welchen in einer Flachenecke zwei oder mehrere Ecken des namlichen Einteilungsgebietes zusammenstossen. Lasst man dagegen Gebietseinteilungen zu, bei denen in einer Flachenecke ein Gebiet audi an sich selbst anstossen darf — und es ist eigentlich kein Grund vorhanden, dies auszuschliessen — so muss man dem Index von e in obigen Gleichungen beliebig hohe Werte anzunehmen gestatten. D m dann, unsrem Yorsatz gemass die mogiichen wesentlich verschiedenen Flacheninteilnngen zu erschopfen, mussen den beschriebenen Modellen noch drei weitere hinzugefugt werden, alle auf Einteilung eines Einges in 5 Nachbargebiete bezuglich Fiir .6 und 7 Nachbargebiete auf einem Ringe sowie fiir beliebige Nachbargebietseinteilungen auf Flachen hoheren Geschlechtes wird durch das Fallenlasson der Beschrankimg keine Veranderung in der Anzahl der Moglichkeiten hervorgerufen, so lange wenigstens die bei Heffter mit (B) bezeichnete Formel _ (n — 3) (n — 4) 4- 2an Pn~ ^ gilt, aus welcher folgt, dass hochstens achtfache Eckpunkte auftreten konnen. "Wir lassen nun eine Beschreibung der neu hinzukommenden Modeiie folgen: Modell Nr. 8. Hier ist: n = 5; e3 = 2; e4 = 2 ; e6 = 1; Die Einteilung wird bewirkt durch eine geschlossene Linie, welche durch den sechsfachen Eckpunkt geht, die gerade Axe einmal und die Rundaxe ebenfalls einmal umkreist, ferner durch eine geschlossene Linie, welche zweimal durch den sechsfachen Eckpunkt geht und die gerade sowohl wie die Rundaxe zweimal umkreist, schliesslich durch ein Stiick des 5*