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A. Brill, Singularitaten algebraischer Curven.

die sich, w e n n alle a und p gleich Null sind, auf p (X) und w (X) reduciren, und bilde n u n wieder mit Hilfe von pA und o^ die Ausclriicke fur x, y, u, v wie oben. D e n willktirlich annehmbaren kleinen Grossen a, p entsprechen dann , penultimate" , Ourvenformen, welche diejenigen elementaren Singularitaten neb eneinander enthalten, die in der holier en Singularitat vereinigt sind. In Bezug auf die Wendepunkte (a) und die Ruckkehrpunkte (p) verfiigt m a n uber Anordnung, Realitat u. s. w. durchaus unbeschrankt. W a s die Doppelpunkte und -Tangenten angeht, so wird die Porderung, dass sich die in der penultimaten F o r m auftretenclen nicht wieder zu mehrfachen Punkten u. s. w. vereinigen, erfiillt, w e n n m a n vermeidet, die a, p so zu wahlen, dass weder die Discriminante der aus (3 a) clurch Elimination von D entstehenden „Doppelpunktsgleichungu in X, noch die fur die Doppeltangentengieichung verschwindet, sowie dass die Resultante aus je zweien der vier Gleichungen 1 T all Avird. S Aus deni Studium dieser Discriminanten und Resultanten ergab sich ein merkwlirdiger Satz, der sich auf den Fall reeller Coefficienten in der Entwicklung und der variirten Parameterausdrticke fur x, y bezieht. Bezeichnet m a n mit r und w die Gesamtzahl der Grossen a bezw. p, d. h. der aus der Singularitat hervorgegangenen Riickkehr- und Wendepunkte, mit r' und w' die reetten unter diesen, mit d' und t' die isolirten (aus der Singularitat hervorgegangenen) Doppelpunkte unci Doppeltangenten, so besteht, wie auch die Auflosung erfblgen moge, immer die Beziehung: r' — w ' + 2 (qV — f) = r — w. Der Betrag der linken Seite dieser Gleichung, der auch im Falle einer mehrelementigen Singularitat von der Art der Variation nicht abhangt, ist in den ausgestellten Blattern fur jede Singularitat als ihr ,,Realitatsindexu besonders angefuhrt.

Die ausgestellten Zeichnungen unci die zugehorigen Rechnungen hat im Jahre 1883 Herr Ch. Schiiltheiss, clamals Studirender der Mathematik an der technischen Hochschule in