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A. Brill, Singular! taten algebraischer Curven.

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In diesen Formeln sind durch Striche die Ableitungen nach X bezeichnet, 3 ! ist = 1 . 2 . 3, u. s. w. 4) Endlich ergeben sich die Parameter der Beriihrungspunkte der Doppeltangenten aus Gleichungen wie (3), gebildet fiir die Liniencoordinaten u, v, die mit x, y durch die Gleichung zusammenhangen: ux — y — v = o; oder kiirzer nach Vertauschung von co mit p aus (3 a). Es folgt aus diesen Gleichungen, dass die der singularen Stelle enlsprechende Wurzel X — o: (p — l)fach in der Gleichung fltr die Ruckkehrpunkte, (q — p — • l)fach in der fltr die Wendepunkte (-tangenten) und, w e n n p und q teilerfremd sind*), -J(p — 1) (q — 3)fach bez. l(q — p — 1) (q — 3)fach in den Gleichungen fiir die eigentlichen Doppelpunkte (mit getrennten Tangenten) und fltr die Doppeltangenten auftritt. Statt auf die obigen Ausdriicke x (X), y (X) kann m a n die Definition der Curve auch auf die A n n a h m e der ganzen Functionen p (X), to (X) stutzen. In der That, es ist: x (X) = [ p (X) dX u (X) = f to (X) dX y (X) = I p (X) u (X) dX v (X) = ux — y = ( * x (X) to (X) dX «J o vo Die vollkommene Analogic der so definirten Linien- mit den Punktcoordinaten springt in die Augen. Der Process der Constantenv aviation besteht n u n darin, class m a n an Stelle des Factors von p (X) [bezw. von to (X)], der aus einer Potenz von X besteht, je eine ganze Function in X von gleichem Grade setzt, deren Coefficienten — bis auf den der hochsten Potenz — sehr kleine willkttrlieh angenommene Grossen sind. M a n substitute also fiir p (X), to (X) die ganzen Functionen: PiM=='P(>>—<*i)(>>—aa) • • • • (X — a p _ 0 «i w = i (* - pi) (* - ps) — (x - (wo (»o (q - P) + a qi (q, - p) X*"< + x ....),

*) Die Modificationen, die diese Zahlen erfahren, wenn p, q nicht teilerfremd sind,findetman a. a. 0. § 9 S. 400 angegeben. a