Repository: UIHistories Project: Mathematical Model Catalog (1892 - German) [PAGE 480]

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n

I. Abteilung.

Setzt m a n in die Coe'fficienten dieser Gleichung. fiir a, g, Y die Werte oin welche deu Gleichungen (III) geniigen, so erhalt m a n 210 t

•csp*

150 k2 = 0.

Die Discriminante dieser quadratischen Gleichung a0a2 — a2 = 600k2 - lOQk2 = -f- 500k2 ist aber• positiv, fiir reelle Werte von k, d. h. der Doppelpunkt der Curve ist isolirt, und clamit die ganze Doppelcurve der Flache A5 = o. Dann aber teilt die Flache A 5 = - o den R a u m iiberhaupt nur in zwoi Teile, und die vorliegende Hauptgleichung kann niemals fiinf reelle W u r zeln besitzen. Ln der That, sind xt x2 x3 irgend drei reelle Wurzeln der Gleichung, so mtissen x4 unci x5, weil die Coefficienten der vierten und clritten Potenz in der Hauptgleichung Null sind, den Bedingungen geniigen : X4 + xB = —(Xi-j-xjs + xg) x4 x5 = (xt + x2 + x3)2 — (x±x2 + x2 x3 + Xi x3) cl. h. die Werte der beiclen anclern Wurzeln ergeben sich aus einer quadra* tischen Gleichung, die nur imaginare Wurzeln besitzen kann. Denn ihre Discriminante wire! nur dann negativ, wenn ~~ 2 (Xlx2 + xrx3 + x2x3) > 3 (xt2 + x22 + x32) ist. Das ist aber unmoglich; denn es ist offenbar stets: a2 + b 2 > 2ab b2 H- c2 > 2bc c2 -- a2 >• 2ca \ a2-f-b2-f-c2>ab+ac + bc also sicher 3 (a2 -f b2 4- c2) > — 2 (ab 4- be -f ca) Die Flache A5 ~ o teilt also den Eauni in 2 Teile; sie hat vollig die mit I bezeichnete R a u m enthalt alle Pimkte, welche Gleichungen mit 1 reollen unci 4 complexen, wahrenci der R a u m II Gleichungen mit 3 reellen und 2 complexen Wurzeln liefert. Analytisch ausgeclriickt hat man fiir die Hauptgleichung: G5 = x5 4- 5a x2 4- 5px 4- y = o gemass clen vorausgehenclen Untersuchungen die folgenden ausserst einfachen Kriterien: Wurzeln: 1 A |8£2 — ay 27P«a4-Y2 4t82 — 3ay Y2 - 3aap 1 reelle 3 reelle . . . . . Eine dreifache . . Zwei Paar gleiche

40 0 1 0 0 0 0

Es m a g bemerkt weiclen, class auch fiir die beiden letzten Falle zwei der Kriterien geniigen, unci class y2 ~ 3a2£J nichts anderes ist, als die Invariante