Repository: UIHistories Project: Mathematical Model Catalog (1892 - German) [PAGE 479]

EXTRACTED TEXT FROM PAGE:

Algebra, Funotionentheorie. D. Modelle und Z e i c h n u n g e n zur Funotionentheorie. Algebra

23 und

Geometriscbe Darstelluiig* der Discrimiiiaiite derHauptgleieliung* ftinften Grades. G. Kerschensteiner, Gymnasiallehrer in Schweinfurt. Die Hauptgleichung fitnften Grades (vergl. Klein, Ikosaeder, Seite 182) G5 = x5 + 5a x2 + 50 5 + y = 0 . (I) hat als Disci'iminante folgenden Ausdruck (vergl. Faa di Bruno, iibersetzt von Walter, Seite 317): A5 = 108a5T — 135a4P -f 90aapT2 — 320a£3 T + 256p5 + Y4 Die Flache, welche clieser gleich Null gesetzte Ausdruck clarstellt, besitzt notwendig eine Riickkehrkante als Ort aller Punkte affy, fur welche G5 = 0 eine Gleichung mit einer dreifachen Wurzel darstellt, ferner eine Doppelcurve als Ort aller Punkte a[3y, fiir welche G5 = 0 eine Gleichung mit zwei Paar gleichen Wurzeln reprasentirt. Weitere singulare Curven siucl ausgeschlossen, da G5 = 0 nur fiir a = £ = y = 0 vier- oder fiinffache Wurzeln erhalten kann. Die analytischen Ausdriicke fiir die Doppelcurve bezw. Riickkehrkante erhalt man daher, wenn man die speziellen Gleichungen G;^(x-^)3(x — p)(x^X) = o G4B'=(x-li.)(x-p)a(x-X)» = o mit der Hauptgieichung (I) compariert. M a nfindetauf diese Weise als Gleichung der Riickkehrkante (wobei der Parameter ji der Wert cler dreij fachen Wurzel ist): a = — 2^j P = + %4 T = -6p.» W Sie ist also eine Raumcurve, von deren Verlauf man sich in einfacher Weise ein geometrisches Bild verschafft, wenn man sie sich als Schnitt cler beiden Cylinder vorstellt 16p3 — 27a4 = 0, 16p5 — 3y4 = o, deren erster eine Curve vom Typus einer gewohnlichen Parabel, deren zweiter eine Curve vom Typus einer Neil'schen Parabel zum Querschnitt hat. Ebenso erhalt man als Gleichung der Doppelcurve : a == -f- (p 4- X)8 = k3 P = — |(p + >04 = — f k 4 T = + S(p + >0*==8k5, (Hi) oine Raumcurve, welche sich als Schnitt der beiden Cylinder ergibt: 27a4 + 64p3 = 0, 123 p5 -f T4 = 0. Es eriibrigt nur noch, den Verlauf der Doppelcurve auf der Flache zu untersuehen. Zu dem Zwecke denke ich mir in der Flach.engleich.ung A5 = 0 dieAbscisse a einen Moment als Parameter; dann stellt A5 = 0 die Gesammtheit aller Curven dar, nach welchen der Parallelebenenbiischel a' — Constdie Discriminantenflache schneidet. Fiir einen Doppelpunkt f3' y' clieser Curven bestimmen sich die beiden Tangenten aus der Gleichung