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Arithmetik. B.

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diese Zellen mit den ganzen Zahlen von 1 bis rn in der Weise aus, class jede in einer dev n Hauptrichtungen liegende Zahlenreihe die S u m m e (l+rn)r §=: gibt, so heisst der so gebildete Zahlkorper ein n - d i m ensionaler magisoher Wiirfel. Derselbe wird vollkommen genannt, wenn auch die 2n-i diagonalen Zahlreihen, welche je zwei gegemibeiiiegen.de EckeD verbindeu, dieselbe S u m m e s geben. Durch Hinzufiigung weiterer Bedingungen lasst sich die Vollkommenheit des Wiirfels steigern und gleiclizeitig die Anzahl der moglichen Wiirfel verringei'D. Namentlich kann fiir ungerade Werte von r. verlangt werden, dass auch alle diejenigen Zah.lreih.ea die S u m m e s liefern, welche die Mitten je zweier gegeniiberliegender Grenzgebilde verbinden, Erwahnt seien ferner die Bedingungen, dass schiefe Zahlreihen, oder solche, die in der Rosselsprung-Richtung fortschreiten, die S u m m e s geben, dass die aufeinander folgenden Zahlen in ebensolchen Richtungen stehen, dass auch die Quadrate der in den einzelnen Reihen stehenden Zahlen dieselbe S u m m e geben, u. s. w. Ein n-dimensionaler magischer Wiirfel gestattet eine von der Anzahl der Dimensionen unabhangige iibersichtliche Darsteliung in der Ebene, wenn m a n jede n-dimensionale Zelle durch ein kleines Quadrat ersetzt, in welches die zugehorige Zahl eingeschrieben wird, und diese Quadrate in gesetzmassiger Weise zu Streifen, die Streifen wieder zu grosseren Quadraten, diese Quadrate wieder zu Streifen vereinigt, u. s. w. Auf diese Weise wird schliesslich der ganze Wiirfel durch ein Quadrat oder einen Streifen dargestellt, jenachdem n gerade oder ungerade ist. Die Zahlreihen sincl in diesen Darstellungen in alien vorkomtnenden Richtungen ohne Schwierigkeit zu verfolgen. Der Atlas enthalt in dieser Darsteliung • magische Quadrate mit den Seitenzahlen 3, 5, 7; 6, 10, 14; 4, 8, 12; magische Wiirfel gewohnlicher Art mit den Seitenzahlen 3, 5, 7; 6, 10; 4, 8; vier dimensionale Wiirfel mit den Seitenzahlen 3, 5; 6, 4; endlich einen fiinfdimensionalen Wiirfel mit der Seitenzahl 3. Beigefiigte Schemas erleichtern das Auffinden der Zahlenrichtungen. Ausserdem sind jedesmal die weiteren Eigenschaften des Wiirfels, durch welche seine Vollkommenheit erzielt, bezw. gesteigert wird, angegeben. Weitere Erlauterungen enthalt en zwei dem Atlas beigefiigte Aufsatze. Ausser der oben beschriebenen Darsteliung sind fiir die vier- und fiinfdimensionalen Wiirfel noch Central- und Parallelprojectionen, sowie Darstellungen mittelst regelmassiger Polygone nebst gewissen Systemen von Diagonalen angewendet, iiber welche der zweite der beigefiigten Aufsatze nahere Auskunft gibt. Die innere Ubereinstimmung dieser so sehr verschiedenen Darstellungen gibt fiir jede von ihnen eine Controlle der Richtigkeit, die u m so erwuinschter ist, als sich das projicirte oder sonst dargestellte Gebilde selbst unserer Anschauung vollig entzieht. Hinsichtlich der noch nicht veroffentlichten Methode zur gesetzmassigen Herstellung solcher Wiirfel sei hier bemerkt, dass dieselbe lehrt, aus gegebenen ( n — l)-dimensionalen Wiirfeln \ron beliebiger Seitenzahl beliebige ndimensionale Wiirfel von gleicher Seitenzahl herzustellen, wobei als 1-dimensionaler AViirfel die lineare Reihe der natiirlichen Zahlen in beliebiger