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A. Brill, Singularitaten algebraischer Curven.

mogen „elernentare Singularitaten" genannt werden. Fur die rationalen Curven lassen sich nach Clebsch (Crelle's Journal, Bd. 64) Gleichungen bilden, denen die Werte der Parameter geniigen, die den elementaren Singularitaten zugehoren. K o m m e n sie getrennt vor, so sind die Wurzeln verschieden. Der Gracl ciieser Gleichungen entspricht der Anzahl, bezw. der doppeiten Anzahl der betreffenden mit endlichem Parameter versehenen ausgezeichneten Stellen der Curve. Die vier Gleichungen konnen mehrfache Wurzeln erhalten, w e n n eine hohere Singularitat auftritt. Hat m a n die ihr entsprechende Vielfachheit ermitteit, so fragt es sich, ob diese Zahlen bereits die an der Geschlechtsformel und in den Plrickerschen Gleichungen anzubringende Reduction bestimmen. 1st dies furdie rationale Curve gezeigt, so gilt es fur jede andere algebraische Curve, weil in der U m g e b u n g der singularen Stelle das Verhalten ihrer Polaren u. s. w. mit clem fur die rationale ubereinstimmt.* N u n lasst sich die rationale Curve, vvelche die Singularitat besitzt, durch genau definirte kleine Constantenanderungen in eine andere rationale iiberfuhren, ftir welche die Gleichungen, denen die elementaren Singularitaten geniigen, an Stelle der niehrfachen Wurzeln lauter verschiedene haben, die von diesen sich beliebig wenig unterscheiden, und deren Anzahl je gleich d e m Exponenten des mehrfachen Factors ist. Durch vorgangige passende W a h l des Grades der rationalen Curve kann m a n ferner bewirken, dass alles Ubrige, also namentlich auch die sonstigen im Endlichen gelegenen singularen Punkte und die im Unendlichen gelegene hohere Singularitat bei der Variation an Zahl und an Charakter sich nicht andern. Weil n u n auch noch Grad, Classe, Geschlecht der Curve dieselben bleiben, so mlissen auch die von der betrachteten Singularitat herrtihrenden Zahlen, die in die Plticker'schen Ausdrticke eingehen, von der Variation unberiihrt bleiben. U n d zwar bezieht sich dies nicht nur auf die beiden ersten Formeln (ftir Classe und Wendepunkte), sondern, wegen der Unveranderlichkeit der Factorenzahl ftir alle vier Gleichungen, auch auf die ihnen dualistisch entsprechenden. Jene Vielfachheitszahlen definiren hiernach nicht bloss die Reductionen an den Formeln fur das Geschlecht u. s. w. — dies