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A. Brill, Singularitaten algebraischer Curven.

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Singularitat behaftet ist, in eine solche von gieicher Ordnnng, Classe und gieichem Geschlecht, welche nur die einfachen Vorkommnisse aufweist, die zuletzt aufgeworfene Frage zuerst und damit implicite auch die fruhere zu beantworten. Der vorliegende Anlass legt es nahe, auf den Ausgangspunkt fur diese Untersuchung: die gestaltliche Deformation, zuruekzugreifen. Dies erfordert indess, w e n n die Grundlage sicher sein soil, algebraische Entwickelungen, die ich im Anschluss an eine tTbersicht tiber die Ergebnisse jenes Aufsatzes voranzustellen mir erlauben werde. Die Absicht ist zunachst die, nachzuweisen, dass mit d e m Auftreten einer hoheren Singularitat in die Formeln fur das Geschlecht, die Classe der Curve und die Anzahl ihrer Wendepunkte zwei ganze Zahlen linear eintreten, welche zusammen mit noch zwei andern ihnen dualistisch entsprechenden in Hinsicht auf die Pluckerschen Formeln die Singularitat vollstandig charakterisiren. — Y o n der Grosse dieser Zahlen, die durch das Verhalten der adjungirten Curven, bezw. der ersten Polare und der Hesse'schen Curve bestimmt ist, sehen wir hier ab. In jener Abhandlung wird nun gezeigt*), dass jede durch Eeihenentwickelungen definirte Singularitat vorkommen kann auf einer „rationaienu Curve (einer Curve v o m Geschlecht Null, deren Coordinaten als rationale Functionen eines Parameters darstellbar sind) von ubrigens noch besondern Eigenschaften, darunter der, dass Ordnung und Classe gleich und, weil bestimmt durch die Stelle, w o m a n die Eeihenentwickelungen abbricht, noch in gewissen Grenzen willktirlich annehmbare Zahlen sind. Bekannt ist das Verhalten der ersten Polaren, der Hesse'schen und der adjungirten Curve in den einfachsten Singularitaten: Doppelpunkt (mit getrennten Tangenten) und Ruckkehrpunkt. Fur Curven, die keine vielfachen hohern Punkte enthalten, ist die Anzahl der Wendepunkte linear von der Anzahl jener einfachsten Singularitaten abhangig, ebenso das Geschlecht und die Classe der Curve. Doppel- und Ruckkehrpunkte nebst den ihnen dualistisch entsprechenden Doppeltangenten und Wencletangenten (-punkten) *) Die Ausfiihrung fur einen besondern Fallfindetman unten.