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A. Brill, Singularitaten atgebraischer Curveu.

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hatte schon H. J. S. Smith bewiesen •—, sondern es .ist auch clargethan, dass die gleichen Factoren durch verschiedene vertreten werden konnen, d. h. dass in den angegebenen Beziehungen jede hohere Singularitat durch eine Anzahl ihr aquivalenter eleraentarer ersetzbar ist. Jene Curvengattung, der sowohl die mit der hoheren Singularitat behaftete als die variirte Curve angehort, hat die Eigenschaft, durch die (ihrerseits von einander unabhangigen) Grleichungen, denen die Parameter der Wendepunkte und der Riickkehrpunkte geniigen, vollig bestimmt zu sein. Die willkiirlichen Veranderungen betreffen daher nur die gleichen Linearfactoren dieser beiden Gleichungen, wodurch dann diejenigen flir die Parameter der Doppelpunkte und der Doppeltangenten eindeutig bestimmt sind, und zwar, w e n n m a n gewisse besondere Wertsysteme der Variationen ausschliesst, in der Weise, dass auch sie nur verschiedene Wurzeln besitzen.

Die Ausstellung, die diesen Aufsat? veranlasst hat, enthalt einige Blatter mit Zeichnimgen, die Ubergange darstellen, bei denen eine hohere Singularitat sich in die aquivalenten elementaren auflost. Sie entspreclien d e m besonclern Fall, dass dieselbe eine „unicursale" ist (ein „superlinear branch" nach Cayley), d. h. dass ihre Entwickelungen einen einzigen Cyklus bilden. W i r stellen hier die algebraischen Hilfsmittel flir die Behandlung dieses Falles zusammen. Die Entwickelungen in einem unicarsalen Element (es enthalt nur einen reellen Curvenzweig, w e n n die Entwickelungscoefficienten reell sind) konnen zusammenfassend dargestellt werden durch eine Beihe fur die Ordinate y, die im Allgemeinen nach gebrochenen Potenzen der Abscisse x aufsteigt: y = q qi a0 xp -|- ai xp -(,

w o die a0 a! Constante; p, q <.q, < q2 < . . . ganze positive Zahlen sind, und w o ohne Beschrankung der Allgemeinheit q > p angenommen werden kann.