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F. Klein, Geometrisches fiber Wurzelrealitat.

wickelung zuganglich werden*). D e r Z w e c k der vorliegenden kurzen Mitteilung wird erreicht sein, w e n n es mir gelingen sollte, in dieser Eichtung einen Anstoss z u geben. Urn so lieber will ieh mich i m Folgenden auf die allerelementarsten Ealle, namlich auf Gleichungen zweiten u n d dritten Grades, beschranken: ich lioffe da allgemein verstandlich zu sein u n d k a n n doch schon alles Wesentliche, w a s ich z u sagen habe, hervortreten lassen. Zunachst der allgemeine Ansatz. Sei (1) f (z) = z" + nAz-1 + n-^—- Bzn~' -f . . . N — o eine vorgelegte Gleichung nten Grades (wo die Binomialcoefficienten hinzugesetzt sind, weil dadurcb. die spater zu gebenden Formeln einfacher werden). So interpretire m a n einfach A , B, . . . N als Punktcoordinaten in einem n dimensionalen R a u m e Rn. Gleichung (1) reprasentirt dann, sofern m a n das z als gegebene Grosse und die A, B, . . . als Yeranderliche ansehen will, einen in diesem Rn enthalteiien (n—l)fach ausgedelmten R a u m , Rn_!, und die ganze Reihenfolge von Rn_!, welche m a n so fur weehselnde Werte von z erhalt, umhullt in ihrer Aufeinanderfolge eben jene Discriminantenmannigfaltigkeit, von welcher bereits soeben die Rede war; kann m a n doch die Discriminante als Resultante von f(z) = o und —r^- = o berechnen. — In nachster Beziehuno; zu diesem dz ° Rn_t und damit zur Discriminantenmannigfaltigkeit steht nun diejenige rationale „Curveu, die Mien Gleichungen (1) mit nfacher Wurzel entspricht: (z-X)" = o, d. h. diejenige Curve, deren Punkte sich mit Hilfe eines Parameters X so darstellen lassen : *) Ich werde welter unten noch hcrvorheben, class die bez. Darstellungen der Lehrbiicher vielfach audi unvollstanclig sind. Abcr der wescntliehe Mangel liegt wohl darin, class die Lehrbilcber durchgangig an der Auffassung festhalten, als handole es sich bei den bier in Betracbt kommenden Fragen urn mmierisclie Gleichungen, also urn Verfahrnngsweisen, welche keinen allgemeinen Character baben, sondern sich jeweils nach dem besonderen vorgelegten Falle richten. Im Oegensatze clazu lasst die geometrische Interpretation die Ooefficienten der zu untersuchenclen Gleichungen notwendig als frei veranclerliche reelle Grossen ansehen,