Repository: UIHistories Project: Mathematical Model Catalog (1892 - German) [PAGE 21]

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F. Klein, Geometrisches iiber Wurzelrealitat. (2) A = —X, B = \\ . . . . N = (-1)" X 1 1.

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Moge clieselbe, entsprechencl cler Ausdrucksweise der neueren Geometer, hier schlechtweg als Normcurve benannt werden * ) ; den einzelnen durch (2) gegebenen Pankt der Curve werde ich als den Ptmkt X derselben bezeichnen. D a ist derm unmittelbar ersichtlicb, class die samtlichen n Schnittpunkte, welcbe der durch (1) gegebene En_, mit cler Normcurve gemein hat, in den einen Punkt X = z coincidiren: unsere Eu__! sind Schmiegungsrdume cler Normcurve und eben daclurch unter alien anderen (n—l)fach ausgeciehnten linearen E a u m e n unseres En charakterisirt. Die Wurzeln z{ aber, welche die Gleichung f(z) = o besitzt, werden aiif der Normcurve durch die n Punkte X == z} vorgestellt sein, namlich durch diejenigen Punkte der Normcurve, in welchen die von clem Eaumpunkte (A, B, . . . N ) an die Curve laufenden Schmiegungsraume (n-—l)ter Dimension dieselbe beriihren. Insbesondere tverden von diesen Wurzeln genau so viele reell sein, als von unserem Eaumpunkte aus reelle Schmiegungsrdume an die Curve gehen. Speciflciren wir diesen Ansatz zunachst fur n = 2, so haben wir in der Gleichung zweiten Grades (3) z2 + 2Az + B = o

die A, B als Punktcoordinaten (etwa geradezu als rechtwinkelige Punktcoorclinaten) der Ebene zu interpretiren. W i r haben dann als Definition der Normcurve (4) A = - X , B = X2 zu Grunde zu legen, was eine Parahel mit cler Gleichung A 2 — B = o ergibt, wie sie durch die B nebenstehende Figur versinnlicht wird; m a n beachte, dass auf dieser Parabel die Punkte mit positivem X linker Hand, die mit negativem X reenter Hand liegen. Gleichung (3) wircl 2 reelle oder 2 imaginare Wurzeln haben, je nachdem von clem reprasentirenden Punkte (A, B) aus zwei reelle oder zwei *) Vgl. z. B. Franz Meyer, Apolaritat und rationale Curven, Tubingen 1883,