Repository: UIHistories Project: Mathematical Model Catalog (1892 - German) [PAGE 186]

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I. Abteilung*. R n u n d fur alle Punkte des Ranmes Ri besitzt die Gleichung G3 = o eine, fiir die Punkte des Emmies Ru drei reelle Wurzeln, und zwar ist im Rauine Ri der Ausdruck A5 = positiv, in Ku dagegen negativ. Die Gleichung vierten Grades besitzt vier Constante. Urn also dereu Discriminante geometrisch deuten zu konnen, wird m a n sie vorher so transformiren mussen, dass eine derselben einen bestimmten Wert annimmt. Fiir gewohnlich transformirt m a n sie so, dass sie in die Hauptgleichung : G4 E x 4 + 6ax2 | 4 b x - | - c = o iibergeht. Die Discriminante dieser Gleichung hat Kronecker bereits vor 30 Jahren behufs Untersuchung der Realitat der Wurzeln geometrisch discutirt. Ich will im Folgenden die Discussion der Discriminanteniiache selbstandig kurz skizziren. Bekanntlich setzt sich die Discriminante einer Gleichung G4 aus den beiden Invariaiiten i undj der Form G4 in der Weise zusammen: A4 = i3 - 27 f In den Grossen a, b, c ausgedriickt, erhalt m a n : A4 = (c + 3 a)3 — 27 (ac — a3 - b2)2 Aus dieser Form erkennt man, dass die Flaehe A4 = o eine Riickkehrkante besitzt, welche sich als Schnitt der beiden Cylinder c -- 3 a2 = o (Gewohnliche Parabel) | b2 -- 4 a3 = o (Neil'sche Parabel) \ in ihrem raumlichen Verlauf leicht verfolgen lasst. D a aber G4 = o audi zvvei Paar gleiche Wurzeln besitzen kaun, so muss die Discriminantenflache audi eine Doppelcurve haben, in welcher sich die Flaehe selbst durchsetzt. In der That, entwickelt m a n in A4 - o die beiden Potenzeii, so redncirt sich die Gleichung der Discriminantenflache auf A4 EE c (c — 9 a2/2 — 27 b2 (b2 — 2 ac + 2 a3) = o Daraus ist ersichtlich, class die Flaehe G4 in der Ebene b = o die Parabel c — 9 a2 = o zur Doppelcurve hat. W ah rend nun aber eine Riickkehrkante niemals isolirt verlaufen kann, ist das bei einer Doppelcurve sehr wohl moglich, und m a n hat nun zu untersucheii, iuwieweit aul dieser Doppelcurve die Flaehe sich wirklich selbst durchsetzt. Setzt m a n daher in der zuletzt eihaltenen Darstellung von A4: b = (b + P)b = 0 c = (c + Y)c = 9 a* w o p und y unendlich kleine Grossen sind, vernachlassigt alle Glieder, die hohere als zweite Potenzen von j und y zu Factoren haben, so 3 erhalt m a n nach geeigneter Reduction

Daraus folgt, class nur fiir negative a zwei reelle Fortschreitungsrichtungen existiren, dass also fiir positive a die Doppelcurve c — 9 a2 — o isolirt verlauft.