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Algebra, Fiiuctionentheorie. D.

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Grades dar. Da die vorgelegte Gleiehung eine Gleichnng allgemeiner Art ist, so kann sie niclit liur eine Doppelwurzel, sondern auch eine dreifache Wurzel besitzen. A lie Werte von a, b, c, fiir welche G3 = o eine dreifache Wnrzel hat, geniigen den Gleiehungen a = X, b = X2, c = X3, wovou m a n sich unniittelbar durch Substitution dieser Werte in G3 — o tiberzeugt. Elimiuirt m a n aus diesen 3 Gleiehungen die Grosse X, so erbalt m a n die beiden Cylinder a2 — b = o b3 — c'2 = o deren einer eine gewobnliche, deren anderer eine Neil'sche Parabel als Leitcurve besitzt. Die raumliche Curve, nach welcher sich diese beiden Cylinder schueiden , liegt notwendig auf der Flache A3 = o, und da die Gleiehung fiir die Coordinaten dieser Curve eine dreifache Wurzel hat, so muss dieselbe eine Eiickkehrkante der FUiche sein, Wir konnen die Gleiehung A3 = o in der That leicht auf eine Form bringen, so dass diese Eigenschaft der Flache, eine Ruckkehrkante zu besitzen, unniittelbar znm Ausdruck kommt. Ordnet m a n namlich A3 = o nach Potenzen von c: c2 + 2 c (2 a3 — 3 a b ) = 3a2ba — 4 b3 ' und erganzt die linke Seite z u m vollen Quadrat, so k o m m t als neuer Ausdruck der Discriminantenliache: V ) = [c + a(2a'2-3b)]2 + 4 (b • a'2)3

Fig. 1. Die Discussion der Flache selbst bietet n u n m e h r keine Schwierigkeiten. Fig. 1 stellt das zwischen a = b = c = + const- liegende Sttick derselben dar. Die Flache teilt den ganzen E a u m in 2 R a u m e Ri u n d *) M a n beachte, dass c -f- a (2 a 2 — 3 b) der Coefficient v o n x3 in der Covariante Q , b — a2 der Coefficient v o n x2 in der Hesse'scheAi Covariante H just; i m Falle eben G 3 E E (x — X)3 ist, verschwinden sowohl Q als H identisch.